「稜錐體積公式」修訂間的差異
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[math]\frac{S_y}{S} = \left( \frac{AX}{AB} \right)^2 = \left( \frac{y}{h} \right)^2[/math]
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| − | 假設有棱錐 PA<sub>1</sub>A<sub>2</sub>...A<sub>n</sub> ，其中 A<sub>1</sub>A<sub>2</sub>...A<sub>n</sub> 為底面的 ''n'' 邊形， A 為棱錐頂點。設 A 在底面的投影為 B 點， <span style='text-decoration:overline'>AB</span> 的長度為 h 。線段 <span style='text-decoration:overline'>AB</span> 上取一點 X ，使得線段 <span style='text-decoration:overline'>AX</span> 的長度為 y ：0 ≤ y ≤ h ，那麼過點 X 而且與底面平行的平面截棱錐得到的形狀是一個和底面的 ''n'' 邊形相似的 ''n'' 邊形，記作 A<sub>x1</sub>A<sub>x2</sub>...A<sub>xn</sub> ，它的面積 S<sub>y</sub> 與底面積 S 的比值等於 <span style='text-decoration:overline'> | + | 假設有棱錐 PA<sub>1</sub>A<sub>2</sub>...A<sub>n</sub> ，其中 A<sub>1</sub>A<sub>2</sub>...A<sub>n</sub> 為底面的 ''n'' 邊形， A 為棱錐頂點。設 A 在底面的投影為 B 點， <span style='text-decoration:overline'>AB</span> 的長度為 h 。線段 <span style='text-decoration:overline'>AB</span> 上取一點 X ，使得線段 <span style='text-decoration:overline'>AX</span> 的長度為 y ：0 ≤ y ≤ h ，那麼過點 X 而且與底面平行的平面截棱錐得到的形狀是一個和底面的 ''n'' 邊形相似的 ''n'' 邊形，記作 A<sub>x1</sub>A<sub>x2</sub>...A<sub>xn</sub> ，它的面積 S<sub>y</sub> 與底面積 S 的比值等於 <span style='text-decoration:overline'>AX</span> 與 <span style='text-decoration:overline'>AB</span> 的比值的平方： |
| − | <center><math>\frac{S_y}{S} = \left( \frac{ | + | <center><math>\frac{S_y}{S} = \left( \frac{AX}{AB} \right)^2 = \left( \frac{y}{h} \right)^2</math></center> |
在點 X 附近擷取的「一片」棱錐「切片」，它的體積大約等於：<math>dV_y \approx \left( \frac{y}{h} \right)^2 S dy</math> | 在點 X 附近擷取的「一片」棱錐「切片」，它的體積大約等於：<math>dV_y \approx \left( \frac{y}{h} \right)^2 S dy</math> | ||
所以棱錐的體積等於積分： <math>V = \int_{y=0}^h dV_y = \int_{y=0}^h \left( \frac{y}{h} \right)^2 S dy = \frac{h^3}{3} \cdot \frac{S}{h^2} = \frac{1}{3} S h </math> | 所以棱錐的體積等於積分： <math>V = \int_{y=0}^h dV_y = \int_{y=0}^h \left( \frac{y}{h} \right)^2 S dy = \frac{h^3}{3} \cdot \frac{S}{h^2} = \frac{1}{3} S h </math> | ||
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| + | '''四、使用「隱形金字塔」：''' | ||
| + | <div style='float:right'><img src='http://files.quality-learning.net/files/wikiUsed/隱形金字塔全部組件.png' width=500 height=500 /></div> | ||
| + | 前題： | ||
| + | # 稜錐體體積為同底等高柱體的 k 倍， k 為常數。 | ||
| + | # 稜錐體若同底等高，體積會相等。 | ||
| + | 隱形金字塔全部組件： | ||
| + | :1個大四面體＋4個小四面體＋12個 ¼八面體 | ||
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| + | <li>單個 ¼八面體 <img src='http://files.quality-learning.net/files/wikiUsed/¼八面體.jpg' width=50 height=60 />和小四面體同底等高，體積各為「一單位」。</li> | ||
| + | <li>四個 ¼八面體拼成八面體 <img src='http://files.quality-learning.net/files/wikiUsed/四個¼八面體.jpg' width=100 height=106 /> ，體積為「四單位」。</li> | ||
| + | <li style='vertical-align:top'>在八面體四個角落加小四面體，變成和大四面體同樣大小，體積為「八單位」。<br/><img src='http://files.quality-learning.net/files/wikiUsed/在八面體四個角落加小四面體.jpg' width=150 height=165 /></li> | ||
| + | <li>合全部組件為一正立方體 <img src='http://files.quality-learning.net/files/wikiUsed/全部組件可組成正立方體.jpg' width=150 height=150 /> ，總體積「24單位」。</li> | ||
| + | <li>以半個方形為底的棱椎 <img src='http://files.quality-learning.net/files/wikiUsed/以半個方形為底的棱椎1.jpg' width=171 height=150 /> <img src='http://files.quality-learning.net/files/wikiUsed/以半個方形為底的棱椎2.jpg' width=74 height=150 /> ，體積為「四單位」，是以以半個方形為底的柱體的 ⅓ 。</li> | ||
| + | <li>k 為 ⅓ 。</li> | ||
| + | </ol> | ||
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| + | <span style='vertical-align:top;'>'''五、推得球的體積為圓柱體積減圓椎體積''' </span> | ||
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於 2026年9月12日 (六) 17:33 的最新修訂
一、積分算法：
假設有棱錐 PA1A2...An ，其中 A1A2...An 為底面的 n 邊形， A 為棱錐頂點。設 A 在底面的投影為 B 點， AB 的長度為 h 。線段 AB 上取一點 X ，使得線段 AX 的長度為 y ：0 ≤ y ≤ h ，那麼過點 X 而且與底面平行的平面截棱錐得到的形狀是一個和底面的 n 邊形相似的 n 邊形，記作 Ax1Ax2...Axn ，它的面積 Sy 與底面積 S 的比值等於 AX 與 AB 的比值的平方：
在點 X 附近擷取的「一片」棱錐「切片」，它的體積大約等於：[math]dV_y \approx \left( \frac{y}{h} \right)^2 S dy[/math]
所以棱錐的體積等於積分： [math]V = \int_{y=0}^h dV_y = \int_{y=0}^h \left( \frac{y}{h} \right)^2 S dy = \frac{h^3}{3} \cdot \frac{S}{h^2} = \frac{1}{3} S h [/math]
二、分割三角柱：
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|---|---|---|---|---|---|---|
| 三角柱 | 分割三角柱 | 椎1與椎3 同底等高 |
椎2與椎3 同底等高 |
三、分割立方體：
四、使用「隱形金字塔」：
前題：
- 稜錐體體積為同底等高柱體的 k 倍， k 為常數。
- 稜錐體若同底等高，體積會相等。
隱形金字塔全部組件：
- 1個大四面體＋4個小四面體＋12個 ¼八面體
- 單個 ¼八面體
和小四面體同底等高，體積各為「一單位」。 - 四個 ¼八面體拼成八面體
，體積為「四單位」。 - 在八面體四個角落加小四面體，變成和大四面體同樣大小，體積為「八單位」。
- 合全部組件為一正立方體
，總體積「24單位」。 - 以半個方形為底的棱椎
，體積為「四單位」，是以以半個方形為底的柱體的 ⅓ 。 - k 為 ⅓ 。
五、推得球的體積為圓柱體積減圓椎體積