「稜錐體積公式」修訂間的差異
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[math]\frac{S_y}{S} = \left( \frac{PX}{PQ} \right)^2 = \left( \frac{y}{h} \right)^2.[/math]
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| − | 假設有棱錐 PA<sub>1</sub>A<sub>2</sub>...A<sub>n</sub>，其中 A<sub>1</sub>A<sub>2</sub>...A<sub>n</sub> 為底面的 ''n'' 邊形， | + | 假設有棱錐 PA<sub>1</sub>A<sub>2</sub>...A<sub>n</sub>，其中 A<sub>1</sub>A<sub>2</sub>...A<sub>n</sub> 為底面的 ''n'' 邊形， P 為棱錐頂點。設 P 在底面的投影為 Q 點，<span style='text-decoration:overline'>PQ</span>的長度為 h 。線段<span style='text-decoration:overline'>PQ</span>上取一點 X ，使得線段<span style='text-decoration:overline'>PX</span>的長度為 y ：0 ≤ y ≤ h ，那麼過點{{math|X}}而且與底面平行的平面截棱錐得到的形狀是一個和底面的{{math|''n''}}邊形相似的{{math|''n''}}邊形，記作{{math|A<sub>x1</sub></sub>A<sub>x2</sub>...A<sub>xn</sub>}}，它的面積{{math|S<sub>y</sub>}}與底面積{{math|S}}的比值等於{{math|PX}}與{{math|PQ}}的比值的平方： |
<center><math>\frac{S_y}{S} = \left( \frac{PX}{PQ} \right)^2 = \left( \frac{y}{h} \right)^2.</math></center> | <center><math>\frac{S_y}{S} = \left( \frac{PX}{PQ} \right)^2 = \left( \frac{y}{h} \right)^2.</math></center> | ||
於 2026年9月1日 (二) 17:11 的修訂
假設有棱錐 PA1A2...An，其中 A1A2...An 為底面的 n 邊形， P 為棱錐頂點。設 P 在底面的投影為 Q 點，PQ的長度為 h 。線段PQ上取一點 X ，使得線段PX的長度為 y ：0 ≤ y ≤ h ，那麼過點模板:Math而且與底面平行的平面截棱錐得到的形狀是一個和底面的模板:Math邊形相似的模板:Math邊形，記作模板:Math，它的面積模板:Math與底面積模板:Math的比值等於模板:Math與模板:Math的比值的平方：
在點模板:Math附近擷取的「一片」棱錐「切片」，它的體積大約等於：[math]dV_y \approx \left( \frac{y}{h} \right)^2 S dy[/math]
所以棱錐的體積等於積分： [math]V = \int_{y=0}^h dV_y = \int_{y=0}^h \left( \frac{y}{h} \right)^2 S dy = \frac{h^3}{3} \cdot \frac{S}{h^2} = \frac{1}{3} S h. [/math]