「稜錐體積公式」修訂間的差異
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[math]\frac{S_y}{S} = \left( \frac{PX}{PQ} \right)^2 = \left( \frac{y}{h} \right)^2.[/math]
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<center><math>\frac{S_y}{S} = \left( \frac{PX}{PQ} \right)^2 = \left( \frac{y}{h} \right)^2.</math></center> | <center><math>\frac{S_y}{S} = \left( \frac{PX}{PQ} \right)^2 = \left( \frac{y}{h} \right)^2.</math></center> | ||
| − | 在點 | + | 在點 X 附近擷取的「一片」棱錐「切片」，它的體積大約等於：<math>dV_y \approx \left( \frac{y}{h} \right)^2 S dy</math> |
所以棱錐的體積等於積分： <math>V = \int_{y=0}^h dV_y = \int_{y=0}^h \left( \frac{y}{h} \right)^2 S dy = \frac{h^3}{3} \cdot \frac{S}{h^2} = \frac{1}{3} S h. </math> | 所以棱錐的體積等於積分： <math>V = \int_{y=0}^h dV_y = \int_{y=0}^h \left( \frac{y}{h} \right)^2 S dy = \frac{h^3}{3} \cdot \frac{S}{h^2} = \frac{1}{3} S h. </math> | ||
於 2026年9月1日 (二) 17:16 的修訂
假設有棱錐 PA1A2...An，其中 A1A2...An 為底面的 n 邊形， P 為棱錐頂點。設 P 在底面的投影為 Q 點，PQ的長度為 h 。線段PQ上取一點 X ，使得線段PX的長度為 y ：0 ≤ y ≤ h ，那麼過點 X 而且與底面平行的平面截棱錐得到的形狀是一個和底面的 n 邊形相似的 n 邊形，記作 Ax1Ax2...Axn ，它的面積 Sy 與底面積 S 的比值等於 PX 與 PQ 的比值的平方：
在點 X 附近擷取的「一片」棱錐「切片」，它的體積大約等於：[math]dV_y \approx \left( \frac{y}{h} \right)^2 S dy[/math]
所以棱錐的體積等於積分： [math]V = \int_{y=0}^h dV_y = \int_{y=0}^h \left( \frac{y}{h} \right)^2 S dy = \frac{h^3}{3} \cdot \frac{S}{h^2} = \frac{1}{3} S h. [/math]