「稜錐體積公式」修訂間的差異
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[math]\frac{S_y}{S} = \left( \frac{AX}{AB} \right)^2 = \left( \frac{y}{h} \right)^2[/math]
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<div style='float:right'><img src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4b/Square_pyramid_slant_height.png' width='*' height='206'/> <img src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/ac/Pyramid_(zh).png' /></div> | <div style='float:right'><img src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4b/Square_pyramid_slant_height.png' width='*' height='206'/> <img src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/ac/Pyramid_(zh).png' /></div> | ||
假設有棱錐 PA<sub>1</sub>A<sub>2</sub>...A<sub>n</sub> ，其中 A<sub>1</sub>A<sub>2</sub>...A<sub>n</sub> 為底面的 ''n'' 邊形， A 為棱錐頂點。設 A 在底面的投影為 B 點， <span style='text-decoration:overline'>AB</span> 的長度為 h 。線段 <span style='text-decoration:overline'>AB</span> 上取一點 X ，使得線段 <span style='text-decoration:overline'>AX</span> 的長度為 y ：0 ≤ y ≤ h ，那麼過點 X 而且與底面平行的平面截棱錐得到的形狀是一個和底面的 ''n'' 邊形相似的 ''n'' 邊形，記作 A<sub>x1</sub>A<sub>x2</sub>...A<sub>xn</sub> ，它的面積 S<sub>y</sub> 與底面積 S 的比值等於 <span style='text-decoration:overline'>AX</span> 與 <span style='text-decoration:overline'>AB</span> 的比值的平方： | 假設有棱錐 PA<sub>1</sub>A<sub>2</sub>...A<sub>n</sub> ，其中 A<sub>1</sub>A<sub>2</sub>...A<sub>n</sub> 為底面的 ''n'' 邊形， A 為棱錐頂點。設 A 在底面的投影為 B 點， <span style='text-decoration:overline'>AB</span> 的長度為 h 。線段 <span style='text-decoration:overline'>AB</span> 上取一點 X ，使得線段 <span style='text-decoration:overline'>AX</span> 的長度為 y ：0 ≤ y ≤ h ，那麼過點 X 而且與底面平行的平面截棱錐得到的形狀是一個和底面的 ''n'' 邊形相似的 ''n'' 邊形，記作 A<sub>x1</sub>A<sub>x2</sub>...A<sub>xn</sub> ，它的面積 S<sub>y</sub> 與底面積 S 的比值等於 <span style='text-decoration:overline'>AX</span> 與 <span style='text-decoration:overline'>AB</span> 的比值的平方： | ||
| − | <center><math>\frac{S_y}{S} = \left( \frac{ | + | <center><math>\frac{S_y}{S} = \left( \frac{AX}{AB} \right)^2 = \left( \frac{y}{h} \right)^2</math></center> |
在點 X 附近擷取的「一片」棱錐「切片」，它的體積大約等於：<math>dV_y \approx \left( \frac{y}{h} \right)^2 S dy</math> | 在點 X 附近擷取的「一片」棱錐「切片」，它的體積大約等於：<math>dV_y \approx \left( \frac{y}{h} \right)^2 S dy</math> | ||
所以棱錐的體積等於積分： <math>V = \int_{y=0}^h dV_y = \int_{y=0}^h \left( \frac{y}{h} \right)^2 S dy = \frac{h^3}{3} \cdot \frac{S}{h^2} = \frac{1}{3} S h </math> | 所以棱錐的體積等於積分： <math>V = \int_{y=0}^h dV_y = \int_{y=0}^h \left( \frac{y}{h} \right)^2 S dy = \frac{h^3}{3} \cdot \frac{S}{h^2} = \frac{1}{3} S h </math> | ||
於 2026年9月1日 (二) 17:39 的修訂
假設有棱錐 PA1A2...An ，其中 A1A2...An 為底面的 n 邊形， A 為棱錐頂點。設 A 在底面的投影為 B 點， AB 的長度為 h 。線段 AB 上取一點 X ，使得線段 AX 的長度為 y ：0 ≤ y ≤ h ，那麼過點 X 而且與底面平行的平面截棱錐得到的形狀是一個和底面的 n 邊形相似的 n 邊形，記作 Ax1Ax2...Axn ，它的面積 Sy 與底面積 S 的比值等於 AX 與 AB 的比值的平方：
在點 X 附近擷取的「一片」棱錐「切片」，它的體積大約等於：[math]dV_y \approx \left( \frac{y}{h} \right)^2 S dy[/math]
所以棱錐的體積等於積分： [math]V = \int_{y=0}^h dV_y = \int_{y=0}^h \left( \frac{y}{h} \right)^2 S dy = \frac{h^3}{3} \cdot \frac{S}{h^2} = \frac{1}{3} S h [/math]