角動量守恆 - 修訂歷史

丁志仁：新頁面: 分類:觀念或原理 ==原理槪述== 角動量守恆定律是指：系統所受合外力矩為零時系統的角動量保持不變。

2023-08-23T04:01:09Z

新頁面: 分類:觀念或原理 ==原理槪述== 角動量守恆定律是指：系統所受合外力矩為零時系統的角動量保持不變。 <div class="mw-collapsible mw-collapsed" d...

新頁面
[[分類:觀念或原理]]
==原理槪述==
角動量守恆定律是指：系統所受合外力矩為零時系統的角動量保持不變。

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" data-collapsetext="展開">
在經典力學部分，依「諾特定理」每一種「連續」對稱性對應一個守恆量，該守恆量稱為諾特荷，而該流稱為諾特流。但「諾特定理」證明過程使用微分，所以只適合可微分的連續量：
#角動量的守恆實質上對應著空間旋轉不變性。
#物理系統對於空間平移的不變性(換言之，物理定律不隨著空間中的位置而變化)給出了動量的守恆律
#對於時間平移的不變性給出了著名的能量守恆定律
:諾特荷也被用於計算靜態黑洞的熵
</div>

但角動量在量子力學中有更深刻的特性：
#許多粒子帶有內稟角動量——自旋
#角動量是分立的、量子化的。
#各獨立方向的角動量之間不對易。

在古典力學、相對論、量子力學中，以下原理都成立：
#動量守恆
#角動量守恆
#能量守恆
#電荷守恆

==什麼是角動量==
<div style='float:right'><img src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e4/Angular_momentum_circle.svg' width=150 height=* /></div>
#角動量是向量，其方向垂直於旋轉平面。通常比右手以示方向，四指為旋轉方向，拇指為角動量方向。
#角動量(L)的大小＝質量(m)|半徑('''r''')×速度('''v''')|。
'''其他的表示法'''

'''L''' = '''r'''×'''p''' ，動量和到原點位移的叉乘(外積)

L = Iω ，轉動慣量乘以角速度

==連心力影響下角動量為什麼會守恆？==
===一、單位時間(dt)內，質點與心連線的掠面積均相等===
<div style='float:right'><img src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3e/CentripetalDisplacementAndEqualSweepArea.svg' width=420 height=320 /></div>
前提：
#有一心，如右圖 O
#質點呈等速運動前進
推論：
#單位時間(dt)內，質點與心連線的掠面積均相等
#此掠面積大小正比於：等速運動速度大小×等速運動前進線與心之垂直距離
以上結論在向心位移為 0 ,正值,負值時均成立

消掉了和 r 平行的那部分(俗稱徑向分量)而保留了和 r 垂直的那部分(俗稱切向分量)。

如右圖：在單位時間內質點的位移為「等速運動位移」與「向心運動位移」合成。兩者雖同時發生，但可拆解後再合成。
====(一)向心運動為 0 時，右圖左====
每單位時間的掠面積，以三小塊三角形表示，由於是等速運動，三個 ∆s 均相等(同底)，高均為 <span style='text-decoration:overline'>OH</span> ，同底等高，所以三小塊掠面積皆相等。且正比於速度 V 與等速運動前進線與心之垂直距離 <span style='text-decoration:overline'>OH</span> 之乘積。

====(二)向心運動不為 0 時，右圖右====
#第一小段單位時間的掠面積為 △OAB ，等於 △OBC
#C' 為過 C 點平行於 <span style='text-decoration:overline'>OB</span> 線上的任一點，可能在 C 點左側，也可能在 C 點右側。
#設 <span style='text-decoration:overline'>CC'</span> 代表第二小段單位時間的向心位移，必須平行於 <span style='text-decoration:overline'>OB</span> ，才符合向心運動的定義。
#代表第二小段單位時間的質點運動為 <span style='text-decoration:overline'>BC</span> 與 <span style='text-decoration:overline'>CC'</span> 之合成，即 <span style='text-decoration:overline'>BC'</span> 。
#第二小段單位時間的掠面積為 △OBC' ，等於 △OBC(同底等高) ，等於 △OAB(同底等高) 。這一點不論 C' 點在 C 點左側、在 C 點右側或是與 C 點重合都不變。
#單位時間的掠面積正比於速度 V 與等速運動前進線與心之垂直距離 <span style='text-decoration:overline'>OH</span> 之乘積。

===二、尋找代表質點向心運動掠面積的算符===
#其計算因子：速度 V 徑向r 皆為向量。
#其計算結果也必須是向量，因為向心運動順時鐘旋轉與逆時鐘旋轉，代表兩組「不同」的向心運動。
#計算結果大小與等速運動前進線與心之垂直距離成正比。
#計算結果大小與1/2rVsin(θ)成正比。
綜上，目前「外積」算符與角動量定義最適合用來代表掠面積的大小。

==動量與角動量==
<table class=nicetable>
<tr>
<th></th>
<th>平動</th>
<th>轉動</th>
</tr>
<tr>
<th>守恆量</th>
<th>動量守恆</th>
<th>角動量守恆</th>
</tr>
<tr>
<th>計量對象</th>
<th>速度</th>
<th>掠面速度(方向垂直掠面)</th>
</tr>
<tr>
<th>穩態</th>
<th>靜止或勻速直線運動</th>
<th>週期和穩定的軌道</th>
</tr>
<tr>
<th>穩態不變的條件<sub>第一定律</sub></th>
<th>合外力為零時才不變</th>
<th>不受力和受有心力時，掠面積不變，角動量不變</th>
</tr>
<tr>
<th>計量定義</th>
<th>動量 p=mv</th>
<th>角動量 J=m r×v=r×p </th>
</tr>
<tr>
<th>變化因子<sub>第二定律</sub></th>
<th>力 F=ma=m dv/dt</th>
<th>力矩 M=r×F= r×(m dv/dt)= m d(r×v)/dt=m dA/dt=dJ/dt</th>
</tr>
<tr>
<th>兩體時<sub>第三定律</sub></th>
<th>F<sub>12</sub>=-F<sub>21</sub> 或 dp<sub>1</sub>=-dp<sub>2</sub></th>
<th>M<sub>12</sub>=-M<sub>21</sub> 或 dJ<sub>1</sub>=-dJ<sub>2</sub></th>
</tr>
<tr>
<th>多體的質心系</th>
<th>總動量必為零</th>
<th>總角動量可以不為零(自旋角動量)</th>
</tr>
<tr>
<th>三維空間中</th>
<th>物體可以沿著三個方向平動</th>
<th>物體可以沿著三個方向轉動</th>
</tr>
<tr>
<th>量子力學</th>
<th>無內秉量力數</th>
<th>有自旋量子數</th>
</tr>
</table>

==角動量守恆的應用==
#讓飛行的紙牌旋轉，紙牌就不會翻滾。
#舞者或溜冰者，收攏四肢以加快族轉的速度。
#槍管或炮管加螺旋的膛線，讓子彈或炮彈旋轉，前進時就不會翻滾。<img src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/ca/Rifling_of_a_cannon_%28M75%3B_90mm%3B_y.1891%3B_Austro-Hungarian%3B_exposed_in_Ljubljana%2C_Slovenia%29.jpg/917px-Rifling_of_a_cannon_%28M75%3B_90mm%3B_y.1891%3B_Austro-Hungarian%3B_exposed_in_Ljubljana%2C_Slovenia%29.jpg' width=80 height=* />
#克卜勒第二定律：在相等時間內，太陽和運動著的行星的連線所掃過的面積都是相等的。<img src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c9/Kepler-second-law.svg' width=150 height=*/>

==相關的上線活動==
#[[撲克飛虎]]：……
#[[危險邊緣]]
#[[垂直面陀螺]]
#[[兩小無猜]]
#[[你儂我儂]]
#[[火柴火箭(matches rocket)]]
#[[遊龍戲鳳]]
#[[翻雲神龍]]
#[[巧奪天弓]]
#[[飛天神龍]]
#[[兩小無猜_v2]]
#[[掉落的紙]]