檢視進階數學及科學/三角形的原始碼

[[分類:數學]][[分類:科學]][[分類:選修與社團]]
===定義===
不在同一直線上的三條線段首尾順次連接所組成的封閉圖形(小學-初中)；也叫三邊形。
===兩平行線為一線所截(用於證明三角形內角和為180°)(禾)===
[[File:Theorem 11.svg|200px|thumb|圖一]]
*對頂角相等，如圖一，∠2=∠4、∠6=∠8
*同位角相等，∠α=∠β[[File:Angle correspondant 2.svg|200px]]
*內錯角相等，∠α=∠β[[File:Angle alt int 2.svg|200px]]
*同側內角互補，如圖一，∠4+∠5=180°，∠3+∠6=180°
*:證明：
*:∵∠5+∠6=180°(平角)，∠4=∠6(內錯角)
*:∴∠4+∠5=180°。同理∠3+∠6=180°

===三角形性質===
#三角形的兩鄰邊之和大於第三邊，三角形的兩鄰邊之差小於第三邊。(坤)
#:<table><tr><td>如圖，△ABC三邊為a,b,c<br/>∵直線是以兩點間最短的距離，∴<br/>a+b>c,b+c>a,c+a>b 運用移項法則 得到<br/>c-a<b,c-b<a,a-b<c,<br/>a-c<b,b-c<a,b-a<b</td><th>&emsp;</th><th>[[File:Triangle-labels.svg|189px]]</th></tr></table>
#三角形三個內角之和等於180°。(檸)
#:<table><tr><td>如圖，過C作<span style='text-decoration:overline'>AB</span>的平行線，得<span style='text-decoration:overline'>EC</span><br/><span style='text-decoration:overline'>AB</span>、<span style='text-decoration:overline'>EC</span>兩平行線，為<span style='text-decoration:overline'>AC</span>所截<br/>∠b=∠e(同位角相等)<br/>∠a=∠d(內錯角相等)<br/>∵∠c+∠e+∠d=180°(平角)∴∠a+∠b+∠c=180°<br/>得證△ABC三個內角加起來是180°</td><th>&emsp;</th><th>[[File:Sum-in-a SVG.svg|256px]]</th></tr></table>
#三角形的外角等於與它不相鄰的兩個內角之和。(坤)
#:<table><tr><td>設圖中的未標示內角為γ'<br/>∠α+∠β+∠γ'=180°<br/>∠γ+∠γ'=180°(平角)<br/>180°−∠γ=∠γ'<br/>∠α+∠β=∠γ</td><th>&emsp;</th><th>[[File:Angle of a triangle.svg]]</th></tr></table>
#三角形的一個外角大於任何一個與它不相鄰的內角。(禾)
#:∵△外角等於兩遠內角之和，全體大於部分，∴外角大於任一遠內角。
#三角形的三外角之和是360°。(坤)
#:<table><tr><td>∠α+∠α'=180°<br/>∠β+∠β'=180°<br/>∠γ+∠γ'=180°<br/>三式相加得：<br/>∠α+∠β+∠γ+∠α'+∠β'+∠γ'=540°<br/>∠α+∠β+∠γ=180°<br/>∠α'+∠β'+∠γ'=540°−180°=360°</td><th>&emsp;</th><th>[[檔案:Triangle-exteriour-angle-theorem-2.svg|203px]]</th></tr></table>
#同底等高的兩個三角形面積相等。(智)
#:∵△面積=½底×高，∴同底等高的△面積皆相等。如圖[[File:6 driehoeken.png|176px]]
#三角形的任意一條中線將這個三角形分為兩個面積相等的三角形。(智)
#:<table><tr><td>如圖，任一△的中線將原△分為紅藍兩個小△，<br/>∵紅部分與藍部分之底相同(中線定義)，<br/>高相同(頂點到底邊只能作一條垂線)，<br/>∴紅、藍兩部分兩個△面積相同。</td><th>&emsp;</th><th>[[File:Median slicing triangle.svg]]</th></tr></table>

===全等三角形===
[[File:Cong triangle.png|thumb]]
定義：經過平移、旋轉或鏡射之後，能夠完全重合的兩個三角形。

性質：
#對應角相等。
#對應邊相等。
#面積相等。
#周長相等。
重合
#角相等則角之兩邊重合。
#線段等長，則對應之兩端點重合，線段也重合。
三角形共有三邊與三角，兩個三角形各有六個邊、角，取三組邊或角相等共得到八種情形，可歸納為六種情形(SSA和ASS等價，AAS和SAA等價)。其中四種情形全等：
#SAS
#RHS
#SSS
#ASA
#AAS
一種情形ASS，又包含：
*A為直角則兩三角形全等，稱為RHS
*A為鈍角則兩三角形全等，沒有特別的名稱
*A為銳角則三角形有兩種不同的形狀，不會全等
一種情形AAA代表兩三角形相似。

[https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Congruent_triangles 相關圖庫]

以下討論全等條件，並簡單證明之：
====SAS(邊角邊)(檸)====
有兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等。
[[File:Congruence of triangles SAS.png|right]]
已知△ΑΒΓ與△ΔΕΖ，∠Α=∠Δ、<span style="text-decoration:overline">ΑΒ</span>=<span style="text-decoration:overline">ΔΕ</span>、<span style="text-decoration:overline">ΑΓ</span>=<span style="text-decoration:overline">ΔΖ</span>
:移動△ΔΕΖ使
:Α點與Δ點重合，且∠Α與∠Δ兩邊重合(兩角相等使兩邊重合) 
:則Β點將與Ε點重合(線段等長兩端點重合)
:同理Γ點將與Ζ點重合(線段等長兩端點重合)
:∴兩△三頂點重合，兩△三邊重合，∴△ΑΒΓ≅△ΔΕΖ
=====等腰三角形兩底角相等=====
△ACB≅△BCA(SAS)[[File:Isosceles-triangle-tikz.svg]]

====RHS(直角股斜邊)(仁)====
在兩個直角三角形中，斜邊及一直角邊對應相等，那麼這兩個三角形全等。
[[File:HL Triangle Congruence.jpg|right]]
:如圖依據畢氏定理：斜邊<sup>2</sup>−高<sup>2</sup> = 另一高<sup>2</sup>
:左、右兩個直角△，斜邊及一高對應相等，另一高亦會對應相等
:兩個直角相等，依據SAS，左右兩個△全等。

====SSS(邊邊邊)(智)====
三組對應邊分別相等的兩個三角形全等。
[[File:Congruence of triangles SSS.png|right]]
已知△ΑΒΓ與△ΔΕΖ，<span style="text-decoration:overline">ΑΒ</span>=<span style="text-decoration:overline">ΔΕ</span>、<span style="text-decoratioightn:overline">ΑΓ</span>=<span style="text-decoration:overline">ΔΖ</span>、<span style="text-decoration:overline">ΒΓ</span>=<span style="text-decoration:overline">ΕΖ</span>
:翻轉△ΑΒΓ並使<span style="text-decoration:overline">ΒΓ</span>與<span style="text-decoration:overline">ΕΖ</span>重合(兩線段相等)，且Α的位置移動到Η的位置。
:△ΔΕΗ為等腰△(已知)，兩底角相等
:△ΔΖΗ為等腰△(已知)，兩底角相等
:∠ΕΔΖ=∠ΕΗΖ，∴△ΕΔΖ≅△ΕΗΖ(SAS)
:而△ΕΗΖ是△ΑΒΓ移動並鏡射而來的，∴△ΕΔΖ≅△ΒΑΓ

====ASA(角邊角)(坤)====
有兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等。
[[File:Congruence of triangles ASA.png|right]]
已知△ΑΒΓ與△ΔΕΖ，∠Β=∠Ε、∠Γ=∠Ζ、<span style="text-decoration:overline">ΒΓ</span>=<span style="text-decoration:overline">ΕΖ</span>
:假定△ΑΒΓ與△ΔΕΖ不全等，移動△ΔΕΖ使<span style="text-decoration:overline">ΒΓ</span>與<span style="text-decoration:overline">ΕΖ</span>重合(等長)
:∵∠Β=∠Ε所以Δ必落在<span style="text-decoration:overline">ΑΒ</span>線上，Α點之外的另一點Η上。
:連接<span style="text-decoration:overline">ΗΓ</span>，得到∠ΗΓΒ≠∠ΑΓΒ，與已知矛盾
:△ΑΒΓ必須≅△ΔΕΖ，才不致於發生矛盾

====AAS(角角邊)(禾)====
*有兩角及其一角的對邊對應相等的兩個三角形全等。
[[File:AAS Triangle Congruence.jpg|right]]
: ∵△的三角相加必等於180°，
:∴若是已確定兩個角之度數，第三角之度數也必確立。
:此時三角形之相等部分為AASA，已知ASA滿足全等條件，故為AAS也為全等。

===平行四邊形===
定義：四邊形兩組對邊平行

性質：
#兩組對邊平行且相等；(檸)
#兩組對角大小相等；(檸)
#相鄰的兩個角互補；(柯)
#對角線互相平分；(坤)
#對於平行四邊形內部任何一點，都存在一條能將平行四邊形平分為兩個面積相等圖形、並穿過該點的線；()
#四邊邊長的平方和等於兩條對角線的平方和。()

===中點定理和截線定理(丁禾)===
[[File:Mid-point_theorem_and_intercept_theorem.svg|225px]]
三角形兩邊中點連線平行於第三邊，且等於第三邊長的一半。
#截線定理，欲求N為<span style='text-decoration:overline'>AC</span>之中點，已知<span style='text-decoration:overline'>AM</span>=<span style='text-decoration:overline'>MB</span>、<span style='text-decoration:overline'>MN</span> //<span style='text-decoration:overline'>BC</span>   
#*證明：
#*#以C為端點畫<span style='text-decoration:overline'>AB</span>的平行線，與<span style='text-decoration:overline'>MN</span>的延伸交於P。
#*#MBPC為平行四邊形，兩雙對邊平行等長∴<span style='text-decoration:overline'>AM</span>=<span style='text-decoration:overline'>MB</span>=<span style='text-decoration:overline'>PC</span>
#*#∠1=∠2(對頂角)、∠3=∠4(內錯角)∴△NAM=NCP(ASS)
#*#∴<span style='text-decoration:overline'>AN</span>=<span style='text-decoration:overline'>NC</span>(N為<span style='text-decoration:overline'>AC</span>之中點)
#中點定理，欲求<span style='text-decoration:overline'>MN</span>=1/2<span style='text-decoration:overline'>BC</span>、<span style='text-decoration:overline'>MN</span> //<span style='text-decoration:overline'>BC</span>，<span style='text-decoration:overline'>AM</span>=<span style='text-decoration:overline'>MB</span>、<span style='text-decoration:overline'>AN</span>=<span style='text-decoration:overline'>NC</span>
#*證明：
#*#以C為端點畫<span style='text-decoration:overline'>AB</span>的平行線，與<span style='text-decoration:overline'>MN</span>的延伸交於P。
#*#∠1=∠2(對頂角)、∠3=∠4(內錯角)、<span style='text-decoration:overline'>AN</span>=<span style='text-decoration:overline'>NC</span>∴△NAM=NCP(ASS)
#*#△NAM=NCP(ASS)∴<span style='text-decoration:overline'>PC</span>=<span style='text-decoration:overline'>AM</span>∵<span style='text-decoration:overline'>AM</span>=<span style='text-decoration:overline'>MB</span>(已知)∴<span style='text-decoration:overline'>PC</span>=<span style='text-decoration:overline'>MB</span>∴MBPC是四邊形(對邊皆平行且相等)∴<span style='text-decoration:overline'>MP</span>=<span style='text-decoration:overline'>BC</span>且<span style='text-decoration:overline'>MP</span>//<span style='text-decoration:overline'>BC</span>又<span style='text-decoration:overline'>MN</span>=<span style='text-decoration:overline'>PN</span>、<span style='text-decoration:overline'>MP</span>=<span style='text-decoration:overline'>MN</span>+<span style='text-decoration:overline'>NP</span>=2<span style='text-decoration:overline'>MN</span>∴<span style='text-decoration:overline'>MN</span>=1/2<span style='text-decoration:overline'>BC</span>

===特殊三角形===
定義
#等邊三角形(正三角形)：三邊都相等的三角形。
#等腰三角形：有兩邊相等的三角形。
#直角三角形：有一個直角的三角形。
#*特殊直角三角形：對剖正方形，對剖正三角形
性質
#等邊三角形的三邊相等，且三個角都為60°。(施馨檸)
#:∵a=b ∴∠α=∠β
#:∵b=c ∴∠γ=∠β
#:∵c=a ∴∠γ=∠α
#:∵∠α+∠β+∠γ=180∘
#:∠α=∠β=∠γ
#:∴∠α=∠β=∠γ=60∘
[[File:Equilateral-triangle-tikz.svg]]
#等腰三角形的「三線」（高、中線、角平分線）合一。(丁禾)
[[File:Isosceles-triangle-more.svg|200px]]
#*將紫線與AB相交的部分設為點M，CM為此三角形之中線，要求證CM⊥AB(是否為高)、∠ACM=∠CMB(是否為角平分線) 
##
##*AM=BM(被中線平分的邊為等長)
##*AC=BC
##*CM=CM(中線本身相等)綜上所述依sss，∠ACM=∠CMB(是角平分線)
##
##*∵∠ACM+∠CMB=∠ABC，∠AMB=180∘(平角)
##*∴∠ACM+∠CMB=90°(角被中線平分)
##*∴CM⊥AB
#等腰三角形的兩個底角都相等。
#直角三角形中，兩直角邊的平方和等於斜邊的平方。
#在直角三角形中，如果有一個角為30°，那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半。(莊坤霖)
#直角三角形的兩個銳角互余。(丁禾)
[[File:Rtriangle.svg|200px]]
##*∵∠A+∠B+∠C=180∘(三角形三角總和必為180)
##*∴180∘－∠C=∠A+∠B=90∘
##*如上∠A+∠B=90∘，∠A、∠B必互為餘角。
#在直角三角形中，斜邊上的中線等於斜邊的一半。(柯智懷)
[[File:MHEHH.svg|200px]]
#*自直角三角形◺ABC的斜線中點α作一中線至點B，自直角三角形◺ABC分割出另一個三角形△αBA。
#*依據中點定理可以透過由<span style='text-decoration:overline'>AC</span>及<span style='text-decoration:overline'>AB</span>的平行中點連接線<span style='text-decoration:overline'>αβ</span>分割△αBA為兩全等直角三角形（構成全等條件SAS），來確認△αBA為等腰三角形。
#*∵△αBA為等腰三角形，兩腰<span style='text-decoration:overline'>Aα</span>（斜邊的一半）和<span style='text-decoration:overline'>αB</span>（斜邊中線）等長
#:∴可得知直角三角形的斜邊中線長度等於斜邊的一半。
判定
#直角三角形。
#*有一個角是直角的三角形是直角三角形。
#*兩銳角互余的三角形是直角三角形。
#*在一個三角形中，如果一邊上的中線等於這邊的一半，那麼這個三角形是直角三角形。
#等腰三角形。
#*有兩邊相等的三角形是等腰三角形。
#*有兩個角相等的三角形是等腰三角形。
#等邊三角形。
#*三條邊都相等的三角形是等邊三角形。
#*三個角都相等的三角形是等邊三角形。
#*有兩邊相等，且其中一角為60°的三角形是等邊三角形。