貝茲曲線：修訂版本之間的差異

2023年9月16日 (六) 15:22的修訂版本

二次貝茲曲線

二次貝茲曲線畫出的是拋物線，無法畫出橢圓和雙曲線。故無法畫出正圓。
所有拋物線都「相似」(不是相等)，且所有曲率(0~∞)的微線段都有。
兩端點外只有一個控制點。
拋物線方程式 ax²+bxy+cy²+dx+ey+f=0 則 b² - 4ac=0 ，即前三項為完全平方式。

參考

二元二次方程式圖形判別的例題
---------- 擬合圓 ----------
How to create circle with Bézier curves?
如何使用Bézier曲線創建圓？
用三阶贝塞尔曲线拟合圆

一、圖形最低點與控制點的關係

Q or q
(quadratic
Bézier
curve)

x1 y1 x y

從目前點的座標畫條
二次貝茲曲線到指定
點的 x,y 座標：其中
x1,y1 為控制點

二次貝茲曲線的參數方程為：

B(t)=(1−t)²×P₀+2(1−t)t×P₁+t²×P₂

圖形為：

其中：

t 是一個介於 0 到 1 之間的參數
P₀ 是起點，座標設為 (0,0)
P₁ 是控制點，座標設為 (α,β)
P₂ 是終點，座標設為 (ɭ,0)

為了找到最大和最小的 y 值，我們可以對 y 的方程進行微分，並將其設為 0 以找到可能的極值。

它們代入 y 的方程，我們得到：

B_y(t)=(1−t)²×0+2(1−t)t×β+t²×0=2β×t(1−t)=2β×(t−t²)

對其進行微分：

B_y′(t)=2β(1-2t)

將斜率設為 0 以解 t：

1−2t=0

t=0.5

將 t=0.5 代入 B_y(t) ，我們得到：

B_y(0.5)=2β(0.5)(0.5)=0.5β

因此，最低點的 y 值是 0.5β，最高點因為在端點上，所以是 0 。

一般化：

由於起迄點水平排列， y 的極值均在 t=0.5 處

起迄點水平排列，由控制點座標(α,β)求最低點座標(a,b)：

由上一段推理得到 b=½ β，此時 t=0.5 。

B(t)=(1−t)²×P₀+2(1−t)t×P₁+t²×P₂

B_x(0.5)=2(0.5)(0.5)α+0.25ɭ=½ α+¼ ɭ=a

所以有：

Q=½ (P+P₁) ，P,Q,P₁，三點共線，且 Q 為 PP₁ 的中點。
P₁P₀, P₁P₂ 分別切二次貝茲曲線 P₀QP₂ 於 P₀, P₂

參考文章

@@ 第 17 行： / 第 17 行： @@
 <td>從目前點的座標畫條<br/>二次貝茲曲線到指定<br/>點的 x,y 座標：其中<br/> x1,y1 為控制點</td>
 </tr></table>
 二次貝茲曲線的參數方程為：
 B(t)=(1−t)<sup>2</sup>×P<sub>0</sub>+2(1−t)t×P<sub>1</sub>+t<sup>2</sup>×P<sub>2</sub>
+圖形為：
 <img src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/da/ControlPointsAndGraphicsOfQuadraticB%C3%A9zierCurve.svg' width='95%' height=* />
@@ 第 26 行： / 第 28 行： @@
 其中：
 #t 是一個介於 0 到 1 之間的參數
-#P<sub>0</sub> 是起點
+#P<sub>0</sub> 是起點，座標設為 (0,0)
-#P<sub>1</sub> 是控制點
+#P<sub>1</sub> 是控制點，座標設為 (α,β)
-#P<sub>2</sub> 是終點
+#P<sub>2</sub> 是終點，座標設為 (ɭ,0)
 為了找到最大和最小的 y 值，我們可以對 y 的方程進行微分，並將其設為 0 以找到可能的極值。
-給定的點是：
-:P<sub>0</sub>=(0,0)
-:P<sub>1</sub>=(α,β)
-:P<sub>2</sub>=(ɭ,0)
 它們代入 y 的方程，我們得到：
-:y(t)=(1−t)<sup>2</sup>×0+2(1−t)t×β+t<sup>2</sup>×0=2β×t(1−t)=2β×(t−t<sup>2</sup>)
+:B<sub>y</sub>(t)=(1−t)<sup>2</sup>×0+2(1−t)t×β+t<sup>2</sup>×0=2β×t(1−t)=2β×(t−t<sup>2</sup>)
 對其進行微分：
-:y′(t)=2β(1-2t)
+:B<sub>y</sub>′(t)=2β(1-2t)
 將斜率設為 0 以解 t：
 :1−2t=0
 :t=0.5
-將 t=0.5 代入 y(t) ，我們得到：
+將 t=0.5 代入 B<sub>y</sub>(t) ，我們得到：
-:y(0.5)=2β(0.5)(0.5)=0.5β
+:B<sub>y</sub>(0.5)=2β(0.5)(0.5)=0.5β
 因此，最低點的 y 值是 0.5β，最高點因為在端點上，所以是 0 。