數學基礎單元：修訂版本之間的差異

2019年3月3日 (日) 14:05的修訂版本

代碼：N（數與量）、S（空間與形狀）、G（坐標幾何）、R（關係）、A（代數）、F（函數）、D（資料與不確定性）

R 為國民小學階段專用，至國民中學、普通型高級中等學校後轉換發展為 A 和 F 。

註解符號的涵意：

1. ※：進階或延伸，不納入全國性考試的範圍。
2. ★：建議不列為評量的直接命題對象，可融入其他課題的評量之中。
3. ＃：不必設置獨立的教學單元，宜融入適當課題，在合理的脈絡中教授。

小學

國中

高中

一覽表

1. 實數：數線，十進制小數的意義，三一律，有理數的十進制小數特徵，無理數之十進制小數的估算（√2為無理數的證明★），科學記號數字的運算。
2. 絕對值：絕對值方程式與不等式。
3. 指數：非負實數之小數或分數次方的意義，幾何平均數與算幾不等式，複習指數律，實數指數的意義，使用計算機的𝑥^𝑦鍵。
4. 常用對數：log的意義，常用對數與科學記號連結，使用計算機的10^𝑥鍵和log鍵。
5. 數值計算的誤差：認識計算機的有限性，可察覺誤差的發生並做適當有效位數的取捨。★＃
6. 數列、級數與遞迴關係：有限項遞迴數列，有限項等比級數，常用的求和公式，數學歸納法。
7. 邏輯：認識命題及其否定，兩命題的或、且、推論關係，充分、必要、充要條件。★＃
8. 坐標圖形的對稱性：坐標平面上，對軸，對軸，對=直線的對稱，對原點的對稱。＃
9. 直線方程式：斜率，其絕對值的意義，點斜式，點與直線之平移，平行線、垂直線的方程式。
   點到直線的距離，平行線的距離、二元一次不等式。
10. 圓方程式：圓的標準式。
11. 直線與圓：圓的切線，圓與直線關係的代數與幾何判定。
12. 廣義角和極坐標：廣義角的終邊，極坐標的定義，透過方格紙操作極坐標與直角坐標的轉換。
13. 三角比：定義銳角的正弦、餘弦、正切，推廣至廣義角的正弦、餘弦、正切，特殊角的值，使用計算機的sin,cos,tan鍵。
14. 三角比的性質：正弦定理，餘弦定理，正射影。
    連結斜率與直線斜角的正切，用計算機的反正弦、反餘弦、反正切鍵計算斜角或兩相交直線的夾角，（三角測量＃）。
15. 式的運算：三次乘法公式，根式與分式的運算。
16. 多項式之除法原理：因式定理與餘式定理，多項式除以(x−a)之運算，並將其表為(x−a)之形式的多項式。
17. 一次與二次函數：從方程式到ƒ(x)的形式轉換，一次函數圖形與y=mx圖形的關係，數線上的分點公式與一次函數求值。
    用配方將二次函數化為標準式，二次函數圖形與y=ax²圖形的關係，情境中的應用問題。
18. 三次函數的圖形特徵：二次、三次函數圖形的對稱性，兩者圖形的大域（global）特徵由最高次項決定，而局部（local）則近似一條直線。
19. 多項式不等式：解一次、二次、或已分解之多項式不等式的解區間，連結多項式函數的圖形。
20. 集合：集合的表示法，宇集、空集、子集、交集、聯集、餘集，屬於和包含關係，文氏圖。★＃
21. 數據分析：一維數據的平均數、標準差。
    二維數據的散布圖，最適直線與相關係數，數據的標準化。
22. 有系統的計數：有系統的窮舉，樹狀圖，加法原理，乘法原理，取捨原理。
    直線排列與組合。
23. 複合事件的古典機率：樣本空間與事件，複合事件的古典機率性質，期望值。
24. 弧度量：弧度量的定義，弧長與扇形面積，計算機的rad鍵。
25. 空間概念：空間的基本性質，空間中兩直線、兩平面、直線與平面的位置關係，三垂線定理。
26. 平面向量：坐標平面上的向量係數積與加減，線性組合。
27. 空間坐標系：點坐標，兩點距離，點到坐標軸或坐標平面的投影。
28. 空間向量：坐標空間中的向量係數積與加減，線性組合。
29. 三角不等式：向量的長度，三角不等式。
30. 三角的和差角公式：正弦與餘弦的和差角、倍角與半角公式。
31. 平面向量的運算：正射影與內積，面積與行列式，兩向量的平行與垂直判定，兩向量的夾角，柯西不等式。
32. 空間向量的運算：正射影與內積，兩向量平行與垂直的判定、柯西不等式，外積。
33. 三階行列式：三向量決定的平行六面體體積，三重積。
34. 平面方程式：平面的法向量與標準式、兩平面的夾角、點到平面的距離。
35. 空間中的直線方程式：空間中直線的參數式與比例式，直線與平面的關係，點到直線距離，兩平行或歪斜線的距離。
36. 二元一次方程組的矩陣表達：定義方陣符號及其乘以向量的線性組合意涵，克拉瑪公式，方程組唯一解、無窮多組解、無解的情況。
37. 三元一次聯立方程式：以消去法求解，改以方陣表達。
    用電腦求解多元一次方程組的觀念與示範。
38. 矩陣的運算：矩陣的定義，矩陣的係數積與加減運算，矩陣相乘，反方陣。
    將矩陣視為資料表，用電腦做矩陣運算的觀念與示範。
39. 對數律：從10及指數律認識log的對數律，其基本應用，並用於求解指數方程式。
40. 三角函數的圖形：sin,cos,tan函數的圖形、定義域、值域、週期性，週期現象的數學模型。（cot,sec,csc之定義與圖形※）
41. 正餘弦的疊合：同頻波疊合後的頻率、振幅。
42. 矩陣的應用：平面上的線性變換，二階轉移方陣。
43. 指數與對數函數：指數函數及其圖形，按比例成長或衰退的數學模型，常用對數函數的圖形，在科學和金融上的應用。
44. 主觀機率與客觀機率：根據機率性質檢視主觀機率的合理性，根據已知的數據獲得客觀機率。
45. 條件機率：條件機率的意涵及其應用，事件的獨立性及其應用。
46. 貝氏定理：條件機率的乘法公式，貝氏定理及其應用。
47. 弧度量：弧度量的定義，弧長與扇形面積，計算機的rad鍵。
48. 空間概念：空間的基本性質，空間中兩直線、兩平面、及直線與平面的位置關係。
    利用長方體的展開圖討論表面上的兩點距離，認識球面上的經線與緯線。
49. 圓錐曲線：由平面與圓錐截痕，視覺性地認識圓錐曲線，及其在自然中的呈現。
50. 平面向量：坐標平面上的向量係數積與加減，線性組合。
51. 平面向量的運算：正射影與內積，兩向量的垂直與平行判定，兩向量的夾角。
52. 平面上的比例：生活情境與平面幾何的比例問題（在設計和透視上）。
53. 空間坐標系：點坐標，兩點距離，點到坐標軸或坐標平面的投影。
54. 矩陣與資料表格：矩陣乘向量的線性組合意涵，二元一次方程組的意涵，矩陣之加、減、乘及二階反方陣。
    將矩陣視為資料表，用電腦做矩陣運算的觀念與示範。
55. 週期性數學模型：正弦函數的圖形、週期性，其振幅、週期與頻率，週期性現象的範例。
56. 按比例成長模型：指數函數與對數函數及其生活上的應用，例如地震規模，金融與理財，平均成長率，連續複利與的認識，自然對數函數。
57. 主觀機率與客觀機率：根據機率性質檢視主觀機率的合理性，根據已知的數據獲得客觀機率。
    不確定性：條件機率、貝氏定理、獨立事件及其基本應用，列聯表與文氏圖的關聯。
58. 數列的極限：數列的極限，極限的運算性質，夾擠定理。
    從連續複利認識常數𝑒。
59. 無窮等比級數：循環小數，Σ符號。
60. 複數：複數平面，複數的極式，複數的四則運算與絕對值及其幾何意涵。
    棣美弗定理，複數的次方根。
61. 二次曲線：拋物線、橢圓、雙曲線的標準式，橢圓的參數式。
62. 複數與方程式：方程式的虛根，代數基本定理，實係數方程式虛根成對的性質。
63. 函數：對應關係，圖形的對稱關係（奇偶性），凹凸性的意義，反函數之數式演算與圖形對稱關係，合成函數。＃
64. 函數的極限：認識函數的連續性與函數在實數的極限，極限的運算性質，絕對值函數和分段定義函數，介值定理，夾擠定理。
65. 微分：導數與導函數的極限定義，切線與導數，多項式函數及簡單代數函數之導函數，微分基本公式及係數積和加減性質。
66. 導函數：微分乘法律，除法律，連鎖律，高階導數，萊布尼茲符號。
    函數的單調性與凹凸性判定，一次估計，基本的最佳化問題。
67. 黎曼和：黎曼和與定積分的連結。
68. 積分：多項式函數的反導函數與不定積分。
    定積分在面積、位移、總變化量的意涵，微積分基本定理。
69. 積分的應用：連續函數值的平均，圓的面積，球的體積，切片積分法，旋轉體體積。
70. 離散型隨機變數：期望值、變異數與標準差，獨立性，伯努力試驗與重複試驗。
71. 二項分布與幾何分布：二項分布與幾何分布的性質與參數。
72. 複數：複數平面，複數的四則運算與絕對值。
73. 無窮等比級數：循環小數，認識Σ符號。
74. 線性規劃：目標函數為一次式的極值問題，平行直線系。
75. 方程式的虛根：方程式的虛根，實係數方程式的代數基本定理，虛根成對性質。
76. 函數：對應關係，圖形的對稱關係（奇偶性），凹凸性的意義。＃
77. 函數的極限：認識函數的連續性與函數在實數的極限，極限的運算性質，介值定理，夾擠定理。
78. 微分：導數與導函數的極限定義，切線與導數，多項式函數之導函數，微分基本公式及係數積和加減性質。
79. 導函數：二階導數，萊布尼茲符號。
    函數的單調性與凹凸性判定，基本的最佳化問題，導數的邊際意涵。
80. 積分：一次與二次函數的反導函數與定積分。
    定積分的面積與總變化量的意涵，微積分基本定理。
81. 積分的應用：連續函數值的平均，總量與剩餘意涵。
82. 離散型隨機變數：期望值、變異數與標準差，獨立性，伯努力試驗與重複試驗。
83. 二項分布：二項分布的性質與參數。

關係