進階數學及科學/三角形

兩平行線為一線所截

• 對頂角相等
• 內側角相等
• 同側內角互補

三角形性質

1. 三角形的兩鄰邊之和大於第三邊，三角形的兩鄰邊之差小於第三邊。
2. 三角形三個內角之和等於180° 。
3. 等底等高的兩個三角形面積相等。

推論

1. 三角形的外角等於與它不相鄰的兩個內角之和。
2. 三角形的三外角之和是360°。
3. 三角形的一個外角大於任何一個與它不相鄰的內角。
4. 三角形的任意一條中線將這個三角形分為兩個面積相等的三角形。

全等三角形

定義：能夠完全重合的兩個三角形。

性質：

1. 對應角相等。
2. 對應邊相等。
3. 面積相等。
4. 周長相等。

全等條件：

1. SSS(邊邊邊)：三組對應邊分別相等的兩個三角形全等。
2. SAS(邊角邊)：有兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等。
3. ASA(角邊角)：有兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等。
4. AAS(角角邊)：有兩角及其一角的對邊對應相等的兩個三角形全等。
5. RHS(直角股斜邊)：在兩個直角三角形中，斜邊及一直角邊對應相等，那麼這兩個三角形全等。

八種情形→六種情形(有兩對等價)→四種全等，一種包含RHS，一種相似。 相關圖庫

特殊三角形

定義

1. 等邊三角形(正三角形)：三邊都相等的三角形。
2. 等腰三角形：有兩邊相等的三角形。
3. 直角三角形：有一個直角的三角形。
   • 特殊直角三角形：對剖正方形，對剖正三角形

性質

1. 等邊三角形的三邊相等，且三個角都為60°。
2. 等腰三角形的「三線」（高、中線、角平分線）合一。
3. 等腰三角形的兩個底角都相等。
4. 直角三角形中，兩直角邊的平方和等於斜邊的平方。
5. 在直角三角形中，如果有一個角為30°，那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半。
6. 直角三角形的兩個銳角互余。
7. 在直角三角形中，斜邊上的中線等於斜邊的一半。

判定

1. 直角三角形。
   • 有一個角是直角的三角形是直角三角形。
   • 兩銳角互余的三角形是直角三角形。
   • 在一個三角形中，如果一邊上的中線等於這邊的一半，那麼這個三角形是直角三角形。
2. 等腰三角形。
   • 有兩邊相等的三角形是等腰三角形。
   • 有兩個角相等的三角形是等腰三角形。
3. 等邊三角形。
   • 三條邊都相等的三角形是等邊三角形。
   • 三個角都相等的三角形是等邊三角形。
   • 有兩邊相等，且其中一角為60°的三角形是等邊三角形。