行列式:修訂版本之間的差異

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2019年8月30日 (五) 09:28的修訂版本

定義與求值

定義:

例如:

 
   
     
       
         
           |
           
             
               
                 2
               
               
                 3
               
             
             
               
                 1
               
               
                 4
               
             
           
           |
         
       
       =
       2
       
       4
       
       3
       
       1
       =
       5
     
   
   {\displaystyle {\begin{vmatrix}2&3\\1&4\end{vmatrix}}=2\cdot 4-3\cdot 1=5}
 

用行列式解二元一次方程式

方程式組為:

其解如下:

 
   
     
       x
       =
       
         
           
             |
             
               
                 
                   
                     
                       c
                       
                         1
                       
                     
                   
                   
                     
                       b
                       
                         1
                       
                     
                   
                 
                 
                   
                     
                       c
                       
                         2
                       
                     
                   
                   
                     
                       b
                       
                         2
                       
                     
                   
                 
               
             
             |
           
           
             |
             
               
                 
                   
                     
                       a
                       
                         1
                       
                     
                   
                   
                     
                       b
                       
                         1
                       
                     
                   
                 
                 
                   
                     
                       a
                       
                         2
                       
                     
                   
                   
                     
                       b
                       
                         2
                       
                     
                   
                 
               
             
             |
           
         
       
       ,
       
       y
       =
       
         
           
             |
             
               
                 
                   
                     
                       a
                       
                         1
                       
                     
                   
                   
                     
                       c
                       
                         1
                       
                     
                   
                 
                 
                   
                     
                       a
                       
                         2
                       
                     
                   
                   
                     
                       c
                       
                         2
                       
                     
                   
                 
               
             
             |
           
           
             |
             
               
                 
                   
                     
                       a
                       
                         1
                       
                     
                   
                   
                     
                       b
                       
                         1
                       
                     
                   
                 
                 
                   
                     
                       a
                       
                         2
                       
                     
                   
                   
                     
                       b
                       
                         2
                       
                     
                   
                 
               
             
             |
           
         
       
     
   
   {\displaystyle x={\frac {\left|{\begin{matrix}c_{1}&b_{1}\\c_{2}&b_{2}\end{matrix}}\right|}{\left|{\begin{matrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{matrix}}\right|}},\qquad y={\frac {\left|{\begin{matrix}a_{1}&c_{1}\\a_{2}&c_{2}\end{matrix}}\right|}{\left|{\begin{matrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{matrix}}\right|}}}
 

或是直接套公式:

 
   
     
       x
       =
       
         
           
             
               c
               
                 1
               
             
             
               b
               
                 2
               
             
             
             
               c
               
                 2
               
             
             
               b
               
                 1
               
             
           
           
             
               a
               
                 1
               
             
             
               b
               
                 2
               
             
             
             
               a
               
                 2
               
             
             
               b
               
                 1
               
             
           
         
       
     
   
   {\displaystyle x={\frac {c_{1}b_{2}-c_{2}b_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}}}
 

,

 
   
     
       y
       =
       
         
           
             
               a
               
                 1
               
             
             
               c
               
                 2
               
             
             
             
               a
               
                 2
               
             
             
               c
               
                 1
               
             
           
           
             
               a
               
                 1
               
             
             
               b
               
                 2
               
             
             
             
               a
               
                 2
               
             
             
               b
               
                 1
               
             
           
         
       
     
   
   {\displaystyle y={\frac {a_{1}c_{2}-a_{2}c_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}}}
 

例:

 
   
     
       
         
           {
           
             
               
                 2
                 x
                 +
                 37
                 y
                 =
                 2
               
             
             
               
                 2
                 x
                 +
                 119
                 y
                 =
                 2
               
             
           
           
         
       
     
   
   {\displaystyle {\begin{cases}2x+37y=2\\2x+119y=2\end{cases}}}
 

解:

 
   
     
       x
       =
       
         
           
             2
             ×
             119
             
             2
             ×
             37
           
           
             2
             ×
             119
             
             2
             ×
             37
           
         
       
       =
       
         
           
             238
             
             74
           
           
             238
             
             74
           
         
       
     
   
   {\displaystyle x={\frac {2\times 119-2\times 37}{2\times 119-2\times 37}}={\frac {238-74}{238-74}}}
 

,

238-74=164, x = 1

 
   
     
       y
       =
       
         
           
             4
             
             4
           
           
             238
             
             74
           
         
       
     
   
   {\displaystyle y={\frac {4-4}{238-74}}}
 

4-4=0,238-74=164, y = 0