貝茲曲線：修訂版本之間的差異

2023年9月16日 (六) 14:20的修訂版本

二次貝茲曲線

二次貝茲曲線畫出的是拋物線，無法畫出橢圓和雙曲線。故無法畫出正圓。
所有拋物線都「相似」(不是相等)，且所有曲率(0~infin)的微線段都有。
兩端點外只有一個控制點。
拋物線方程式 ax²+bxy+cy²+dx+ey+f=0 則 b² - 4ac=0 ，即前三項為完全平方式。

參考

二元二次方程式圖形判別的例題
---------- 擬合圓 ----------
How to create circle with Bézier curves?
如何使用Bézier曲線創建圓？
用三阶贝塞尔曲线拟合圆

一、圖形最低點與控制點的關係

Q or q
(quadratic
Bézier
curve)

x1 y1 x y

從目前點的座標畫條
二次貝茲曲線到指定
點的 x,y 座標：其中
x1,y1 為控制點

二次貝茲曲線的參數方程為：

B(t)=(1−t)²×P₀+2(1−t)t×P₁+t²×P₂

其中：

t 是一個介於 0 到 1 之間的參數
P₀ 是起點
P₁ 是控制點
P₂ 是終點

為了找到最大和最小的 y 值，我們可以對 y 的方程進行微分，並將其設為 0 以找到可能的極值。

給定的點是：

P₀=(0,0)

P₁=(α,β)

P₂=(ɭ,0)

它們代入 y 的方程，我們得到：

y(t)=(1−t)²×0+2(1−t)t×β+t²×0=2β×t(1−t)

對其進行微分：

y′(t)=2β−4βt

將斜率設為 0 以解 t：

2β−4βt=0

t=0.5

將 t=0.5 代入 y(t) ，我們得到：

y(0.5)=100(0.5)(0.5)=25

因此，最低點的 y 值是 25，最高點因為在端點上，所以是 0 。

一般化：

(一)起迄點水平排列， y 的極值均在 t=0.5 處

上述推理完全沒有使用到 x 座標，可見只要起迄點水平排列，不論控制點的 x 座標為起迄點的居中或偏左或偏右，都是在 t=0.5 時， y 座標降到控制點垂直距離之半，並且為最低點。

參考文章

@@ 第 30 行： / 第 30 行： @@
 給定的點是：
 :P<sub>0</sub>=(0,0)
-:P<sub>1</sub>=(50,50)
+:P<sub>1</sub>=(α,β)
-:P<sub>2</sub>=(100,0)
+:P<sub>2</sub>=(ɭ,0)
 它們代入 y 的方程，我們得到：
-:y(t)=(1−t)<sup>2</sup>×0+2(1−t)t×50+t<sup>2</sup>×0=100t(1−t)
+:y(t)=(1−t)<sup>2</sup>×0+2(1−t)t×β+t<sup>2</sup>×0=2β×t(1−t)
 對其進行微分：
-:y′(t)=100−200t
+:y′(t)=2β−4βt
 將斜率設為 0 以解 t：
-:100−200t=0
+:2β−4βt=0
 :t=0.5
 將 t=0.5 代入 y(t) ，我們得到：
 :y(0.5)=100(0.5)(0.5)=25
 因此，最低點的 y 值是 25，最高點因為在端點上，所以是 0 。
 ===一般化：===
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