進階數學及科學/月考2/莊坤霖

題組一：

1. 設時間為 x 軸，位移為 y 軸， y=-0.15*x²+1.5x ，求速度方程式與加速度方程式。
2. 畫圖：
   • 位移-時間命名為 s(x) 。
   • 速度-時間命名為 s'(x) 。
   • 加速度-時間命名為 s''(x) 。
3. 說明：每圖兩種曲線
   • s'是s的切線斜率，取 x 為 0.2,0.4,0.6,0.8,1.0 時 s 在各點趨近的切線斜率，及 s' 在上述各點的值，比對兩者是否相符。(提示：取「切線斜率」時，點要密一點；但取值時點不用很密)
   • s''是s'的切線斜率，取 x 為 0.2,0.4,0.6,0.8,1.0 時 s' 在各點趨近的切線斜率，及 s'' 在上述各點的值，比對兩者是否相符。
   • 兩點之間的∆s＝s'與 x 軸所夾的面積，求 x= 0.2 ~ 0.8 之間s'與 x 軸所夾的面積，及 s 在 0.2 與 0.8 的值，比對 ∆s 是否等於 s'與 x 軸所夾的面積。
   • ∆s'＝s''與 x 軸所夾的面積，求 x= 0.2 ~ 0.8 之間 s'' 與 x 軸所夾的面積，及 s' 在 0.2 與 0.8 的值，比對 ∆s' 是否等於 s'' 與 x 軸所夾的面積。。

題組二：求微分

1. 2x⁴
2. 4x³
3. -3x
4. 2
5. 4√x
6. 2x⁴+4x³-3x+2

題組三：x²-4x-1

1. x²-4x-1=0，用配方法求兩根。
2. 對 y=x²-4x-1 畫圖，求最大值或最小值、兩根。
3. 說明係數與圖形的關係。

題組四： 用鋁片做容量 125cm³之正方柱形罐頭，用什麼尺寸才可使材料最節省。

題組五： 說明求導法則

答案：

題組一：

1. s(x)=-0.15X²+1.5X
2. s'(x)=0.3X+1.5
3. s"(x)=-0.3

題組二：求微分

1. 8X³
2. 12X²
3. -3
4. 0
6. 8X³+12X²-3

題組三：x²-4x-1

1. X=2±√5
2. -5
3. 最大係數>0開口向上，最大係數<0開口向下

題組四： r=2

題組五：

1. 常數'=0
2. (Cƒ(x))'=Cƒ'(x) (提出常係數)
3. (fg)'=f'g+fg' (前導後不導+前不導後導)
4. <math>\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dz}\frac{dz}{dx}</math>