貝茲曲線
出自六年制學程
目錄
一次貝茲曲線
B(t)＝P0＋(P1－P0)t＝(1-t)P0＋tP1, t∈[0,1]
B(t)描述一條由P0至P1的直線。例如當t=0.25時，B(t)即一條由點P0至P1路徑的四分之一處。
等同於線性插值。
二次貝茲曲線
重點：
- 二次貝茲曲線畫出的是拋物線，無法畫出橢圓和雙曲線。故無法畫出正圓。
- 所有拋物線都「相似」(不是相等)，且所有曲率(0~∞)的微線段都有。
- 兩端點外只有一個控制點。
- 拋物線方程式 ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0 則 b2 - 4ac=0 ，即前三項為完全平方式。
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| 二次貝茲曲線的結構 |
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| 二次貝茲曲線演示 t在[0,1]區間 |
二次貝茲曲線的參數方程為：
B(t)＝(1−t)2×P0＋2(1−t)t×P1＋t2×P2, t∈[0,1]
其中：
- t 是一個介於 0 到 1 之間的參數
- P0 是起點，座標設為 (0,0)
- P1 是控制點，座標設為 (α,β)
- P2 是終點，座標設為 (ɭ,0)
水平放置的圖形為：
我們讓起迄點水平排列，並準備由控制點座標(α,β)，求出最低點座標(a,b)。
為了找到最大和最小的 y 值，我們可以對 y 的方程進行微分，並將其設為 0 以找到可能的極值。
(一)先求 y 值的關係
它們代入 y 的方程，我們得到：
- By(t)=(1−t)2×0+2(1−t)t×β+t2×0=2β×t(1−t)=2β×(t−t2)
對其進行微分：
- By′(t)=2β(1-2t)
將斜率設為 0 以解 t：
- 1−2t=0
- t=0.5
將 t=0.5 代入 By(t) ，我們得到：
- By(0.5)=2β(0.5)(0.5)=0.5β
因此，最低點的 y 值是 0.5β 。
(二)次求 x 值的關係：
起迄點水平排列時， y 的極值均在 t=0.5 處。
由上一段推理得到 b=½ β，此時 t=0.5 。
B(t)=(1−t)2×P0+2(1−t)t×P1+t2×P2
Bx(0.5)=2(0.5)(0.5)α+0.25ɭ=½ α+¼ ɭ=a
(三)求端點的切線斜率
切線斜率為 By′(t) / Bx′(t) = 2β(1-2t) / 2α+2(ɭ-2α)t = β(1-2t) / α+(ɭ-2α)t
當 t=0 ，斜率為 β / α ，恰為 P1P0 的斜率
當 t=1 ，斜率為 -β / ɭ-α，恰為 P1P2 的斜率
(四)總結
所以有：
- Q=½ (P+P1) ，P,Q,P1，三點共線，且 Q 為 PP1 的中點。
- P1P0, P1P2 分別切二次貝茲曲線 P0QP2 於 P0, P2
一、圖形最低點與控制點的關係
| Q or q (quadratic Bézier curve) |
x1 y1 x y <path d='M0,0 Q50,50 100,0' style='stroke:black'/> <path d='m0,0 q50,50 100,0' style='stroke:black'/> |
從目前點的座標畫條 二次貝茲曲線到指定 點的 x,y 座標：其中 x1,y1 為控制點 |
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參考
- 二元二次方程式圖形判別的例題
---------- 擬合圓 ---------- - How to create circle with Bézier curves?
- 如何使用Bézier曲線創建圓？
- 用三阶贝塞尔曲线拟合圆
