進階數學及科學/三角形

出自六年制學程
在2016年9月25日 (日) 20:57由丁禾（對話 | 貢獻）所做的修訂版本

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定義

不在同一直線上的三條線段首尾順次連接所組成的封閉圖形(小學-初中)；也叫三邊形。

兩平行線為一線所截(用於證明三角形內角和為180°)(禾)

圖一
  • 對頂角相等，如圖一，∠2=∠4、∠6=∠8
  • 同位角相等，∠α=∠βAngle correspondant 2.svg
  • 內錯角相等，∠α=∠βAngle alt int 2.svg
  • 同側內角互補，如圖一，∠4+∠5=180°，∠3+∠6=180°
    證明：
    ∵∠5+∠6=180°(平角)，∠4=∠6(內錯角)
    ∴∠4+∠5=180°。同理∠3+∠6=180°

三角形性質

  1. 三角形的兩鄰邊之和大於第三邊，三角形的兩鄰邊之差小於第三邊。(坤)
    如圖，△ABC三邊為a,b,c
    ∵直線是以兩點間最短的距離，∴
    a+b>c,b+c>a,c+a>b 運用移項法則 得到
    c-a<b,c-b<a,a-b<c,
    a-c<b,b-c<a,b-a<b    		 Triangle-labels.svg
  2. 三角形三個內角之和等於180°。(檸)
    如圖，過C作AB的平行線，得EC
    AB、EC兩平行線，為AC所截
    ∠b=∠e(同位角相等)
    ∠a=∠d(內錯角相等)
    ∵∠c+∠e+∠d=180°(平角)∴∠a+∠b+∠c=180°
    得證△ABC三個內角加起來是180°    		 Sum-in-a SVG.svg
  3. 三角形的外角等於與它不相鄰的兩個內角之和。(坤)
    設圖中的未標示內角為γ'
    ∠α+∠β+∠γ'=180°
    ∠γ+∠γ'=180°(平角)
    180°−∠γ=∠γ'
    ∠α+∠β=∠γ    		 Angle of a triangle.svg
  4. 三角形的一個外角大於任何一個與它不相鄰的內角。(禾)
    ∵△外角等於兩遠內角之和，全體大於部分，∴外角大於任一遠內角。
  5. 三角形的三外角之和是360°。(坤)
    ∠α+∠α'=180°
    ∠β+∠β'=180°
    ∠γ+∠γ'=180°
    三式相加得：
    ∠α+∠β+∠γ+∠α'+∠β'+∠γ'=540°
    ∠α+∠β+∠γ=180°
    ∠α'+∠β'+∠γ'=540°−180°=360°    		 Triangle-exteriour-angle-theorem-2.svg
  6. 同底等高的兩個三角形面積相等。(智)
    ∵△面積=½底×高，∴同底等高的△面積皆相等。如圖6 driehoeken.png
  7. 三角形的任意一條中線將這個三角形分為兩個面積相等的三角形。(智)
    如圖，任一△的中線將原△分為紅藍兩個小△，
    ∵紅部分與藍部分之底相同(中線定義)，
    高相同(頂點到底邊只能作一條垂線)，
    ∴紅、藍兩部分兩個△面積相同。    		 Median slicing triangle.svg

全等三角形

Cong triangle.png

定義：經過平移、旋轉或鏡射之後，能夠完全重合的兩個三角形。

性質：

  1. 對應角相等。
  2. 對應邊相等。
  3. 面積相等。
  4. 周長相等。

重合

  1. 角相等則角之兩邊重合。
  2. 線段等長，則對應之兩端點重合，線段也重合。

三角形共有三邊與三角，兩個三角形各有六個邊、角，取三組邊或角相等共得到八種情形，可歸納為六種情形(SSA和ASS等價，AAS和SAA等價)。其中四種情形全等：

  1. SAS
  2. RHS
  3. SSS
  4. ASA
  5. AAS

一種情形ASS，又包含：

  • A為直角則兩三角形全等，稱為RHS
  • A為鈍角則兩三角形全等，沒有特別的名稱
  • A為銳角則三角形有兩種不同的形狀，不會全等

一種情形AAA代表兩三角形相似。

相關圖庫

以下討論全等條件，並簡單證明之：

SAS(邊角邊)(檸)

有兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等。

Congruence of triangles SAS.png

已知△ΑΒΓ與△ΔΕΖ，∠Α=∠Δ、ΑΒ=ΔΕ、ΑΓ=ΔΖ

移動△ΔΕΖ使
Α點與Δ點重合，且∠Α與∠Δ兩邊重合(兩角相等使兩邊重合)
則Β點將與Ε點重合(線段等長兩端點重合)
同理Γ點將與Ζ點重合(線段等長兩端點重合)
∴兩△三頂點重合，兩△三邊重合，∴△ΑΒΓ≅△ΔΕΖ
等腰三角形兩底角相等

△ACB≅△BCA(SAS)Isosceles-triangle-tikz.svg

RHS(直角股斜邊)(仁)

在兩個直角三角形中，斜邊及一直角邊對應相等，那麼這兩個三角形全等。

HL Triangle Congruence.jpg
如圖依據畢氏定理：斜邊2−高2 = 另一高2
左、右兩個直角△，斜邊及一高對應相等，另一高亦會對應相等
兩個直角相等，依據SAS，左右兩個△全等。

SSS(邊邊邊)(智)

三組對應邊分別相等的兩個三角形全等。

Congruence of triangles SSS.png

已知△ΑΒΓ與△ΔΕΖ，ΑΒ=ΔΕ、ΑΓ=ΔΖ、ΒΓ=ΕΖ

翻轉△ΑΒΓ並使ΒΓ與ΕΖ重合(兩線段相等)，且Α的位置移動到Η的位置。
△ΔΕΗ為等腰△(已知)，兩底角相等
△ΔΖΗ為等腰△(已知)，兩底角相等
∠ΕΔΖ=∠ΕΗΖ，∴△ΕΔΖ≅△ΕΗΖ(SAS)
而△ΕΗΖ是△ΑΒΓ移動並鏡射而來的，∴△ΕΔΖ≅△ΒΑΓ

ASA(角邊角)(坤)

有兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等。

Congruence of triangles ASA.png

已知△ΑΒΓ與△ΔΕΖ，∠Β=∠Ε、∠Γ=∠Ζ、ΒΓ=ΕΖ

假定△ΑΒΓ與△ΔΕΖ不全等，移動△ΔΕΖ使ΒΓ與ΕΖ重合(等長)
∵∠Β=∠Ε所以Δ必落在ΑΒ線上，Α點之外的另一點Η上。
連接ΗΓ，得到∠ΗΓΒ≠∠ΑΓΒ，與已知矛盾
△ΑΒΓ必須≅△ΔΕΖ，才不致於發生矛盾

AAS(角角邊)(禾)

  • 有兩角及其一角的對邊對應相等的兩個三角形全等。
AAS Triangle Congruence.jpg
∵△的三角相加必等於180°，
∴若是已確定兩個角之度數，第三角之度數也必確立。
此時三角形之相等部分為AASA，已知ASA滿足全等條件，故為AAS也為全等。

平行四邊形

定義：四邊形兩組對邊平行

性質：

  1. 兩組對邊平行且相等；(檸)
  2. 兩組對角大小相等；(檸)
  3. 相鄰的兩個角互補；(柯)
  4. 對角線互相平分；(坤)
  5. 對於平行四邊形內部任何一點，都存在一條能將平行四邊形平分為兩個面積相等圖形、並穿過該點的線；()
  6. 四邊邊長的平方和等於兩條對角線的平方和。()

中點定理和截線定理(丁禾)

Mid-point theorem and intercept theorem.svg 三角形兩邊中點連線平行於第三邊，且等於第三邊長的一半。

  1. 截線定理，欲求N為AC之中點，已知AM=MB、MN //BC
    • 證明：
      1. 以C為端點畫AB的平行線，與MN的延伸交於P。
      2. MBPC為平行四邊形，兩雙對邊平行等長∴AM=MB=PC
      3. ∠1=∠2(對頂角)、∠3=∠4(內錯角)∴△NAM=NCP(ASS)
      4. ∴AN=NC(N為AC之中點)
  2. 中點定理，欲求MN=1/2BC、MN //BC，AM=MB、AN=NC
    • 證明：
      1. 以C為端點畫AB的平行線，與MN的延伸交於P。
      2. ∠1=∠2(對頂角)、∠3=∠4(內錯角)、AN=NC∴△NAM=NCP(ASS)
      3. △NAM=NCP(ASS)∴PC=AM∵AM=MB(已知)∴PC=MB∴MBPC是四邊形(對邊皆平行且相等)∴MP=BC且MP//BC又MN=PN、MP=MN+NP=2MN∴MN=1/2BC

特殊三角形

定義

  1. 等邊三角形(正三角形)：三邊都相等的三角形。
  2. 等腰三角形：有兩邊相等的三角形。
  3. 直角三角形：有一個直角的三角形。
    • 特殊直角三角形：對剖正方形，對剖正三角形

性質

  1. 等邊三角形的三邊相等，且三個角都為60°。(施馨檸)
    ∵a=b ∴∠α=∠β
    ∵b=c ∴∠γ=∠β
    ∵c=a ∴∠γ=∠α
    ∵∠α+∠β+∠γ=180∘
    ∠α=∠β=∠γ
    ∴∠α=∠β=∠γ=60∘

Equilateral-triangle-tikz.svg

  1. 等腰三角形的「三線」（高、中線、角平分線）合一。(丁禾)

Isosceles-triangle-more.svg

    • 將紫線與AB相交的部分設為點M，CM為此三角形之中線，要求證CM⊥AB(是否為高)、∠ACM=∠CMB(是否為角平分線)
      • AM=BM(被中線平分的邊為等長)
      • AC=BC
      • CM=CM(中線本身相等)綜上所述依sss，∠ACM=∠CMB(是角平分線)
      • ∵∠ACM+∠CMB=∠ABC，∠AMB=180∘(平角)
      • ∴∠ACM+∠CMB=90°(角被中線平分)
      • ∴CM⊥AB
  2. 等腰三角形的兩個底角都相等。
  3. 直角三角形中，兩直角邊的平方和等於斜邊的平方。
  4. 在直角三角形中，如果有一個角為30°，那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半。(莊坤霖)
  5. 直角三角形的兩個銳角互余。(丁禾)

Rtriangle.svg

      • ∵∠A+∠B+∠C=180∘(三角形三角總和必為180)
      • ∴180∘－∠C=∠A+∠B=90∘
      • 如上∠A+∠B=90∘，∠A、∠B必互為餘角。
  2. 在直角三角形中，斜邊上的中線等於斜邊的一半。(柯智懷)

MHEHH.svg

    • 自直角三角形◺ABC的斜線中點α作一中線至點B，自直角三角形◺ABC分割出另一個三角形△αBA。
    • 依據中點定理可以透過由AC及AB的平行中點連接線αβ分割△αBA為兩全等直角三角形（構成全等條件SAS），來確認△αBA為等腰三角形。
    • ∵△αBA為等腰三角形，兩腰Aα（斜邊的一半）和αB（斜邊中線）等長
    ∴可得知直角三角形的斜邊中線長度等於斜邊的一半。

判定

  1. 直角三角形。
    • 有一個角是直角的三角形是直角三角形。
    • 兩銳角互余的三角形是直角三角形。
    • 在一個三角形中，如果一邊上的中線等於這邊的一半，那麼這個三角形是直角三角形。
  2. 等腰三角形。
    • 有兩邊相等的三角形是等腰三角形。
    • 有兩個角相等的三角形是等腰三角形。
  3. 等邊三角形。
    • 三條邊都相等的三角形是等邊三角形。
    • 三個角都相等的三角形是等邊三角形。
    • 有兩邊相等，且其中一角為60°的三角形是等邊三角形。
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