進階數學及科學/月考2/柯智懷

題組一：

1. 設時間為 x 軸，位移為 y 軸， y=-0.15*x²+1.5x ，求速度方程式與加速度方程式。
   • 速度方程式：y=0.3x+1.5
     • 速度是位移的微分。
     • y=-0.15*x²+1.5x
     • 2*-0.15*x^2-1=-0.3*x¹=-0.3x
     • 1.5x=1*1.5*x^1-1=1.5*x⁰=1.5
     • y=-0.3x+1.5
   • 加速度方程式：y=-0.3
     • 加速度是速度的微分。
     • y=-0.3x+1.5
     • 1*-0.3*x^1-1=-0.3*x⁰=-0.3
     • 0*1.5*x^0-1=0*x^-1=0
     • y=-0.3+0=-0.3
2. 畫圖：
   • 位移-時間命名為 s(x) 。
   • 速度-時間命名為 s'(x) 。
   • 加速度-時間命名為 s''(x) 。
3. 說明：每圖兩種曲線
   • s'是s的切線斜率，取 x 為 0.2,0.4,0.6,0.8,1.0 時 s 在各點趨近的切線斜率，及 s' 在上述各點的值，比對兩者是否相符。(提示：取「切線斜率」時，點要密一點；但取值時點不用很密)
   • s''是s'的切線斜率，取 x 為 0.2,0.4,0.6,0.8,1.0 時 s' 在各點趨近的切線斜率，及 s'' 在上述各點的值，比對兩者是否相符。
   • 兩點之間的∆s＝s'與 x 軸所夾的面積，求 x= 0.2 ~ 0.8 之間s'與 x 軸所夾的面積，及 s 在 0.2 與 0.8 的值，比對 ∆s 是否等於 s'與 x 軸所夾的面積。
   • ∆s'＝s''與 x 軸所夾的面積，求 x= 0.2 ~ 0.8 之間 s'' 與 x 軸所夾的面積，及 s' 在 0.2 與 0.8 的值，比對 ∆s' 是否等於 s'' 與 x 軸所夾的面積。。

題組二：求微分

1. 2x⁴=4*2*x^4-1=8x³
2. 4x³=3*4*x^3-1=12x²
3. -3x=1*-3*x^1-1=-3x⁰=-3
4. 2=0*2*x^0-1=0*2*x^-1=0
5. 4√x=4*x^1/2=1/2*4*x^1/2-1=1/2*4*x^-1/2=2*x^-1/2=2*(1/√x)=2*√x
6. 2x⁴+4x³-3x+2=8x³+12x²-3+0

題組三：x²-4x-1

1. x²-4x-1=0，用配方法求兩根。
2. 對 y=x²-4x-1 畫圖，求最大值或最小值、兩根。
   • 此方程式具備最小值-5。
   • 根據十分逼近法，其一根約為-0.23606797749978，另一個根約為4.2360679776001。
3. 說明係數與圖形的關係。
   • 包含二次在內，偶數次之方程式係數為正者必有最小值，必無最大值；係數為負者反之。可以無根。
   • 對於奇數次之方程式（一次除外），必無最大值或最小值、必有根。

題組四： 用鋁片做容量 125cm³之正方柱形罐頭，用什麼尺寸才可使材料最節省。

題組五： 說明求導法則