貝茲曲線

出自六年制學程
在2023年9月16日 (六) 14:09由丁志仁對話 | 貢獻所做的修訂版本

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二次貝茲曲線

  1. 二次貝茲曲線畫出的是拋物線,無法畫出橢圓和雙曲線。故無法畫出正圓。
  2. 所有拋物線都「相似」(不是相等),且所有曲率(0~infin)的微線段都有。
  3. 兩端點外只有一個控制點。
  4. 拋物線方程式 ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0 則 b2 - 4ac=0 ,即前三項為完全平方式。

參考

  1. 二元二次方程式圖形判別的例題
    ---------- 擬合圓 ----------
  2. How to create circle with Bézier curves?
  3. 如何使用Bézier曲線創建圓?
  4. 用三阶贝塞尔曲线拟合圆

一、圖形最低點與控制點的關係

Q or q
(quadratic
Bézier
curve)
x1 y1 x y

<path d='M0,0 Q50,50 100,0' style='stroke:black'/>
<path d='m0,0 q50,50 100,0' style='stroke:black'/>
從目前點的座標畫條
二次貝茲曲線到指定
點的 x,y 座標:其中
x1,y1 為控制點

二次貝茲曲線的參數方程為:

B(t)=(1−t)2×P0+2(1−t)t×P1+t2×P2

其中:

  1. t 是一個介於 0 到 1 之間的參數
  2. P0 是起點
  3. P1 是控制點
  4. P2 是終點

為了找到最大和最小的 y 值,我們可以對 y 的方程進行微分,並將其設為 0 以找到可能的極值。

給定的點是:

P0=(0,0)
P1=(50,50)
P2=(100,0)

它們代入 y 的方程,我們得到:

y(t)=(1−t)2×0+2(1−t)t×50+t2×0=100t(1−t)

對其進行微分:

y′(t)=100−200t

將斜率設為 0 以解 t:

100−200t=0
t=0.5

將 t=0.5 代入 y(t) ,我們得到:

y(0.5)=100(0.5)(0.5)=25

因此,最低點的 y 值是 25,最高點因為在端點上,所以是 0 。

一般化:

(一)起迄點水平排列, y 的極值均在 t=0.5 處

上述推理完全沒有使用到 x 座標,可見只要起迄點水平排列,不論控制點的 x 座標為起迄點的居中或偏左或偏右,都是在 t=0.5 時, y 座標降到控制點垂直距離之半,並且為最低點

參考文章