貝茲曲線

出自六年制學程
在2023年10月3日 (二) 16:50由丁志仁對話 | 貢獻所做的修訂版本

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一次貝茲曲線

B(t)=P0+(P1-P0)t=(1-t)P0+tP1, t∈[0,1]

B(t)描述一條由P0至P1的直線。例如當t=0.25時,B(t)即一條由點P0至P1路徑的四分之一處。

等同於線性插值。

二次貝茲曲線

二次貝茲曲線的結構
二次貝茲曲線演示
t在[0,1]區間

重點:

  1. 二次貝茲曲線畫出的是拋物線,無法畫出橢圓和雙曲線。故無法畫出正圓。
  2. 所有拋物線都「相似」(不是相等),且所有曲率(0~∞)的微線段都有。
  3. 兩端點外只有一個控制點。
  4. 拋物線方程式 ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0 則 b2 - 4ac=0 ,即前三項為完全平方式。

由二次貝茲曲線參數方程推導出四性質

  1. 二次貝茲曲線圖形(以下簡稱圖形)是拋物線的一段。
  2. t=½ 時弦與圖形垂直距離最大,圖形此處稱為頂點。
  3. 弦的中點、頂點、控制點三點共線,且頂點為弦中點與控制點的中點。
  4. 控制點與弦的兩端點連線分別切圖形於兩端點。


二次貝茲曲線的參數方程為:

B(t)=(1−t)2×P0+2(1−t)t×P1+t2×P2, t∈[0,1]

將弦水平放置後,其中:

  1. t 是一個介於 0 到 1 之間的參數
  2. P0 是起點,座標設為 (0,0)
  3. P1 是控制點,座標設為 (α,β)
  4. P2 是終點,座標設為 (ɭ,0)

圖形為:

我們讓起迄點水平排列,並準備由控制點座標(α,β),求出最低點座標(a,b)

為了找到最大和最小的 y 值,我們可以對 y 的方程進行微分,並將其設為 0 以找到可能的極值。

(一)先求控制點與最低點的 y 值關係

將控制點的 y 值代入 By(t) 的方程式,我們得到:

By(t)=(1−t)2×0+2(1−t)t×β+t2×0=2β×t(1−t)=2β×(t−t2)

對其進行微分:

By′(t)=2β(1-2t)

將斜率設為 0 以解 t:

1−2t=0
t=½

將 t=½ 代入 By(t) ,我們得到:

By(½)=2β(½)(½)=½ β

因此,最低點的 y 值是 ½ β 。

(二)次求控制點與最低點的 x 值關係:

起迄點水平排列時, y 的極值均在 t=½

由上一段推理得到 b=½ β,此時 t=½

B(t)=(1−t)2×P0+2(1−t)t×P1+t2×P2, t∈[0,1]

Bx(½)=2(½)(½)α+(½)(½)ɭ=½ α+¼ ɭ=a

結合上段,可以發現弦的中點、頂點(最低點)、控制點三點共線,且頂點為弦中點與控制點的中點

(三)求端點的切線斜率

切線斜率為 By′(t) / Bx′(t)=2β(1-2t) / 2α+2(ɭ-2α)t=β(1-2t) / α+(ɭ-2α)t

當 t=0 ,斜率為 β / α ,恰為 P1P0 的斜率

當 t=1 ,斜率為 -β / ɭ-α,恰為 P1P2 的斜率

(四)二次貝茲曲線的圖形是拋物線

將起點、迄點、控制點的座標一般化:

P0 座標 (x0,y0)
P1 座標 (α,β)
P2 座標 (x2,y2)

By(t)=(1−t)2×y0+2(1−t)t×β+t2×y2=y0+2(β-y0)t+(y0-2β+y2)t2

由於 By(t)=mt2+nt+ɭ 的形式,所以 By(t) 對 t 是一拋物線方程。

若 Bx(t) 為一線性函數,則 By(t) 對 x 也將是一拋物線方程。

若 Bx(t) 為一線性函數,則 (x-x0)=t×(x2-x0)
代入 By(t) 得到將為 m′x2+n′x+ɭ′ 的形式,也是拋物線方程。

(五)總結

所以有:

  1. t=½ 時弦對圖形垂直距離最大。
  2. Q=½ (P+P1) ,P,Q,P1,三點共線,且 Q 為 PP1 的中點。
  3. P1P0, P1P2 分別切二次貝茲曲線 P0QP2 於 P0, P2
  4. 二次貝茲曲線 P0QP2 為拋物線。

二次貝茲曲線在 SVG path 中的路徑表達語法

Q or q
(quadratic
Bézier
curve)
x1 y1 x y

<path d='M0,0 Q50,50 100,0' style='stroke:black'/>
<path d='m0,0 q50,50 100,0' style='stroke:black'/>
從目前點的座標畫條
二次貝茲曲線到指定
點的 x,y 座標:其中
x1,y1 為控制點

三次貝茲曲線

三次貝茲曲線的結構
三次貝茲曲線演示
t在[0,1]區間

如右圖:P0P1P2P3四個點在平面或在三維空間中定義了三次方貝茲曲線。曲線起始於P0(起點),走向P1(控制點),並從P2(控制點)的方向來到P3(迄點)。貝茲曲線不會經過P1P2;這兩個點只是在那裡提供方向資訊,也叫「控制點」。


三次貝茲曲線的參數方程為:

B(t)=(1−t)3×P0+3(1−t)2t×P1+3(1−t)t2×P2+t3×P3 , t∈[0,1]

我們將弦水平放置後,令: P0 座標為 (0,0) ,P3 座標為 (ɭ,0) ,不須考慮 ɭ 大小,僅由兩個控制點對弦的垂直高度,即可找到貝茲曲線上對弦的最大垂直距離( y 的極值);我們可以對 y 的方程進行微分,並將其設為 0 以找到可能的極值。

將弦水平放置後,其中:

  1. t 是一個介於 0 到 1 之間的參數
  2. P0 是起點,座標設為 (0,0)
  3. P1,P2 是控制點,對弦的垂直距離分別為 h1,h2
  4. P3 是終點,座標設為 (ɭ,0)

(一)先求兩控制點與最低點的 y 值關係

將控制點的 y 值代入 By(t) 的方程式,我們得到:

By(t)=(1−t)3×0+3(1−t)2t×h1+3(1−t)t2×h2+t3×0=3×t(1−t)[h1-h1t+h2t]
 =3×t(1−t)[h1+(h2−h1)t]=3×[h1t+(h2−2h1)t2+(h1−h2)t3]

對其進行微分:

By′(t)=3[h1+2(h2-2h1)t+3(h1-h2)t2]

將斜率設為 0 以解 t:

t=2(2h1-h2)±√4(h22-4h1h2+h22)-4×3(h1-h2)h1 / 2×3(h1-h2)
t=½

將 t=½ 代入 By(t) ,我們得到:

By(½)=2β(½)(½)=½ β

因此,最低點的 y 值是 ½ β 。

參考文章

  1. How to create circle with Bézier curves?
  2. 如何使用Bézier曲線創建圓?
  3. 用三阶贝塞尔曲线拟合圆