概述
位移-時間圖
三個質點從坐標原點以相同的速度出發,由於分別擁有正、零、負的加速度而導致其位置和關於時間的曲線。原公式分別為:
- 綠線:s(t)=t2+t,加速度 a 與初速同方向,時間越往後,每單位時間所進行的位移越大。
- 藍線:s(t)=t,加速度 a 為 0 ,任可時間其每單位時間的位移皆不變,即速度皆不變。
- 紅線:s(t)=-0.13*t2+t,加速度 a 與初速相反方向,加速度會逐漸抵消掉初速,直到速度為 0 ,然後加速度會使質點的運動回頭,時間越往後回頭的速度越快,每單位時間「負向」位移越大。
藍線的幾何圖形是直線,綠線和紅線的幾何圖形是拋物線。綠線的最高次項係數為正值,所以右側向上;紅線的最高次項係數為負值,所以右側向下。
定義
加入方向考慮之後,如何從一段運動軌跡得到加速度。
- 位移:物體位置的變化,包含零位移。
- 速度:物體在單位時間內的位移。即位移對時間的微分。速度包含大小和方向兩個元素。其中「大小」叫做「速率」。但速度與「位置」無關,等速運動中,不管位置在哪裡,其速度不變,都是同一個值,因為其大小和方向皆相同。
- 加速度:物體在單位時間內速度的變化。即速度對時間的微分。加速度也包含大小和方向兩個元素,也與位置無關。
右圖中綠線是運動的軌跡,藍線及箭頭(S1、S2、S3…)代表每單位時間位移的向量。由小圖中可以看到 v1=S1/Δt , v2=S2/Δt ,而加速度 a1=v2-v1/Δt 。
位移、速度與加速度是用來解釋微積分極好的工具,因為:
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/06/%E4%BD%8D%E7%A7%BB%E9%80%9F%E5%BA%A6%E5%8A%A0%E9%80%9F%E5%BA%A6%E4%B9%8B%E5%BE%AE%E7%A9%8D%E5%88%86%E9%97%9C%E4%BF%82.svg/136px-%E4%BD%8D%E7%A7%BB%E9%80%9F%E5%BA%A6%E5%8A%A0%E9%80%9F%E5%BA%A6%E4%B9%8B%E5%BE%AE%E7%A9%8D%E5%88%86%E9%97%9C%E4%BF%82.svg.png) |
- 三者在微積分上階層簡明:位移的微分得到速度,速度的微分得到加速度;而加速度的積分得到速度變化量,速度的積分得到位移。
- 三者用多項式就能表達。
|
圓周運動
圖一:圓周運動切線速度與向心加速度示意圖
右圖紅色向量代表切線速度,不同瞬間,速率相等,速度不等(方向不同)。
藍色向量代表向心加速度,不同瞬間,加速度大小相等但方向不等。
注意,右圖中藍色向量的向心加速度標示過大,需要修改,真正的大小以圖二較為準確。
a,v,r 之間的大小關係
圖二:圓周運動 a,v,r 關係圖
,必須與
平行且是
順時鐘轉180度
![{\displaystyle v={\frac {r_{2}-r_{1}}{\Delta {t}}}={\frac {\Delta {r}}{\Delta {t}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/779a0dffef33b17f02c6cb22b9ec1f4a82b27c77)
- 求出
或 ![{\displaystyle ar=v^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d47b422fbd6c2dc745a13e989f20387d2c0ff531)
證明:
- 圖二中右方與左方三角形相似
=>
- 兩邊分母同乘
=>
=>
=>
![{\displaystyle a={\frac {v^{2}}{r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0220b1356204c98557a8b60d275196be3e9cf0c1)
圓周運動的動力過程
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d0/Circular_motion_01.svg/100px-Circular_motion_01.svg.png) | 有一個速度向量使運動軌跡直線前進 |
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/51/Circular_motion_02.svg/100px-Circular_motion_02.svg.png) | 加上與其垂直的加速度向量,因為加速度與原速度方向垂直,所以無法增加或抵消原速度的大小,只能改變其方向 |
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/83/Circular_motion_03.svg/200px-Circular_motion_03.svg.png) | 加速度將軌跡拉彎 |
![Circular motion 04.svg](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3b/Circular_motion_04.svg/250px-Circular_motion_04.svg.png) | 反覆上述的過程將得到一個圓周運動的軌跡 |
速度相加
A 在月台,看 B 在列車上,站在 A 的觀點:列車及 B 以速度 u 對他進行等速相對運動; B 在車上射出一發子彈(或光束),此子彈(或光束)對 B 的相對速度為 v ,則此子彈(或光束)對 A 的相對速度為
或
,此公式特性如下:
- 當 v 為 c 時,相加後的速度為 c 。也就是光束的速度不管從 A 或 B 的觀點來看都是 c 。
- 速度相加後永遠小於等於 c 。
- 當 u 、 v 都比 c 小很多時,相加後的速度趨近於 u+v 。
加速度與位移的關係
復習乘法公式
證明:
為常數,當位移-時間關係為
s
=
1
2
a
t
2
{\displaystyle s={\frac {1}{2}}at^{2}}
時,速度為
a
t
{\displaystyle at}
(此時稱為等加速度運動)
代表不同時間物體的位置,和時間有以下關係:
即
![{\displaystyle s(t)={\frac {1}{2}}at^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e59cacfb10aebce2c87b7e8dc0ed9bb42cdf60e)
- 稍早時間
的位置為![{\displaystyle s_{1}={\frac {1}{2}}at^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7dc1d9c9b95a9c5dee191cad3dc6133d88d1757)
- 稍晚時間
的位置為![{\displaystyle s_{2}={\frac {1}{2}}a(t+\Delta t)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78201f985f70cef626767794f7ba2a1444778894)
- 在經過很短時間
的位置改變為![{\displaystyle \Delta s=s_{2}-s_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc4d6c28e744cc2ea8619e83ab3a0a5a2f5f3c0b)
![{\displaystyle ={\frac {{\frac {1}{2}}a(2t\Delta t+\Delta t^{2})}{\Delta t}}={\frac {at\Delta t+{\frac {1}{2}}a(\Delta t)^{2}}{\Delta t}}={\frac {at\Delta t}{\Delta t}}+{\frac {{\frac {1}{2}}a(\Delta t)(\Delta t)}{\Delta t}}=at+{\frac {1}{2}}a\Delta t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9474c49400b3695750c9616a3f2e32a0687b2182)
![{\displaystyle \because {\frac {1}{2}}a\Delta t\to 0\therefore v=at}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcb42a68953b4eb51284d07627c82a3516cd0f61)
切線斜率、微分、導數
設
,則函式
在
點切線斜率、微分、導數、
、
、
、(
)、
都代表同一個意思。
純量考量
同理,在只考純量的情形下:
設
,則
而
位移、速度與加速度的階層關係
f(x), x 軸上有 a,b 兩點對應的函數值為 f(a) 與 f(b) ,f'(a) ~ f'(b) 函式曲線與 x 軸所夾面積,恰為 f(a) 與 f(b) 值的差;f''(a) ~ f''(b) 函式曲線與 x 軸所夾面積,恰為 f'(a) 與 f'(b) 值的差。
此關係是直接來自微積分的基本定義,所以對所有的微積分函式都成立。
第一個練習:等速運動
問題:等速運動,速度為2m/s,請作 1~10秒 的:
- 位移-時間圖、表
- 速度-時間圖、表
- 加速度-時間圖、表
答:
將x軸設為時間
- 位移-時間:位移y=2x
- 速度-時間:速度y=2
- 加速度-時間:加速度y=0
畫圖
- x,y每單位取 30 點,每一單位畫一刻度:
第二個練習:初速度為0,等加速度
問題:等加速度運動,初速度為 0 ,加速度為 0.2m/s2,請作 1~5秒 的:
- 位移-時間圖、表
- 速度-時間圖、表
- 加速度-時間圖、表
答:
將x軸設為時間
- 位移-時間:位移y=½(0.2)x2=0.1*x2
- 速度-時間:速度y=(0.2)x=0.2*x
- 加速度-時間:加速度y=0.2
畫圖
- x,y每單位取 100 點,每一單位畫一刻度:
- 原點距左上角:0,400
- 0~6 切 6 段
第三個練習:速度與加速度同向
問題:等加速度運動,初速度為 1 ,加速度為 0.2m/s2,請作 1~5秒 的:
- 位移-時間圖、表
- 速度-時間圖、表
- 加速度-時間圖、表
答:
將x軸設為時間
- 位移-時間:位移y=½(0.2)x2+x=0.1*x2+x
- 速度-時間:速度y=(0.2)x+1=0.2*x+1
- 加速度-時間:加速度y=0.2
畫圖
- x,y每單位取 100 點,每 0.1 單位畫一刻度:
- 原點距左上角:0,400
- 0~6 切 6 段
第四個練習:速度與加速度反向
問題:等加速度運動,初速度為 1 ,加速度為 -0.2m/s2,請作 1~10秒 的:
- 位移-時間圖、表
- 速度-時間圖、表
- 加速度-時間圖、表
答:將x軸設為時間
- 位移-時間:位移y=½(-0.2)x2+x=-0.1*x2+x
- 速度-時間:速度y=(-0.2)x+1=-0.2*x+1
- 加速度-時間:加速度y=-0.2
畫圖
- x,y每單位取 100 點,每 0.1 單位畫一刻度
- 原點距左上角:0,400
- 各點之x值:始於0,終於11,切11段
向量考量