複數(Complex number),是一種「複合的數」,由實數和虛數單位
所組成。所有的複數都可表達成
。
虛數單位
為何需要虛數單位
- 解方程:
![{\displaystyle 0.5x^{2}-6x+55.5=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e9f85e09af32025c775609e9186a13cbc6d3a76)
從以上一元二次方程的判別式
中,我們可以知道這條方程沒有實根。如果你不曾學過虛數,大概答至這裏便可了。若果你學了虛數,又應怎樣答呢?
你應答
或
−
i
{\displaystyle -i}
,其中
i
{\displaystyle i}
是常數,其值為
−
1
{\displaystyle {\sqrt {-1}}}
,稱為虛數單位。
如上題:判別式=
,
x
=
6
+
−
75
1
{\displaystyle x={\frac {6+{\sqrt {-75}}}{1}}}
,
6
−
−
75
1
{\displaystyle {\frac {6-{\sqrt {-75}}}{1}}}
可記做:
,
6
−
5
3
i
{\displaystyle 6-5{\sqrt {3}}i}
在古代,數學的應用大多用不着複數,因此人們並沒有對複數進行研究。
運算
![{\displaystyle {\sqrt {-9}}=3i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0ee9965c94dea9bd097b60c257163237b3bc99b)
![{\displaystyle {\sqrt {-2}}={\sqrt {2}}i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09ea6fe6ef78b14f777d1867a4fc3070ae08691d)
,其中![{\displaystyle x\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2608e2b392b079f5b763f27bf52883dbee3b64a)
![{\displaystyle {\sqrt {-9}}\times {\sqrt {-2}}=3i\times {\sqrt {2}}i=-{\sqrt {18}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2133a10c71beb2d951dde5aadbe46c6f9a483238)
切記以下的計法不正確:
。
只能應用於
時,因為負數的開方是不連續的。
的高次方會不斷作以下的循環:
![{\displaystyle i^{0}=1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7e87ac3911a2352de6c8108a0a39a58af5ea4ab)
![{\displaystyle i^{1}=i\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb684acc072bec5f8302d20419b84eec00692d15)
![{\displaystyle i^{2}=-1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a42e29c3a72834bd1a11680212c617f8b52916d)
![{\displaystyle i^{3}=-i\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cce18d5d5872b6f8cb24bed295faac15950ec051)
![{\displaystyle i^{4}=1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23408848d55c906eb0e0ad7d2684f5af4066c7c1)
![{\displaystyle i^{5}=i\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85f3fc2c5e50eacd65dbe3973d001e741cc87ccd)
![{\displaystyle i^{6}=-1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e7f9ab8573ab4669db7022edc7eab62bef4a471)
![{\displaystyle i^{7}=-i\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40d0e17c55ca7e1f4c5930e6c0282d5ae2179f67)
- ...
練習
若
是整數,試計算以下的值:
![{\displaystyle i^{4n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb94f921571df92356b1f8de0747e3ca2857b2f5)
![{\displaystyle i^{4n+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d58dd4614a7bdc9cd378c0b2c455db7611ad7b94)
![{\displaystyle i^{4n+2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c6e032d4834bc6668c68fe5cc5d2bf649c47852)
![{\displaystyle i^{4n+3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66f13dc562a25f06ad6842f1f51bee73badd5c91)
複數的表示:實部、虛部、軛、模
所有複數都可以表示成
,其中
是實數。
稱為實部,而
稱為虛部。例如
的實部就是
,虛部是
。
一個複數
的軛(Conjugates)是
a
−
b
i
{\displaystyle a-bi}
,
3
+
4
i
{\displaystyle 3+4i}
的軛就是
3
−
4
i
{\displaystyle 3-4i}
。如果某個複數是一條二次方程的根,其軛就是另一個根。例如
x
2
−
6
x
+
25
=
0
{\displaystyle x^{2}-6x+25=0}
的根就是
3
+
4
i
{\displaystyle 3+4i}
和
3
−
4
i
{\displaystyle 3-4i}
。
複數
的軛寫作
z
¯
{\displaystyle {\bar {z}}}
。複數和其軛相乘,即
z
×
z
¯
=
(
a
+
b
i
)
(
a
−
b
i
)
=
a
(
a
)
+
a
(
b
i
)
−
a
(
b
i
)
−
(
b
i
)
(
b
i
)
=
a
2
+
b
2
{\displaystyle z\times {\bar {z}}=(a+bi)(a-bi)=a(a)+a(bi)-a(bi)-(bi)(bi)=a^{2}+b^{2}}
,是一個實數。將複數和軛相加,
z
+
z
¯
=
(
a
+
b
i
)
+
(
a
−
b
i
)
=
2
a
{\displaystyle z+{\bar {z}}=(a+bi)+(a-bi)=2a}
,亦是一個實數,是其實部的兩倍。將複數減去複數的軛相減,
z
−
z
¯
=
(
a
+
b
i
)
−
(
a
−
b
i
)
=
2
b
i
{\displaystyle z-{\bar {z}}=(a+bi)-(a-bi)=2bi}
,會得到其虛部的兩倍。
|
z
|
=
a
2
+
b
2
{\displaystyle |z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}
稱為
a
+
b
i
{\displaystyle a+bi}
的模或絕對值。
練習
運算
四則運算
在四則運算上,複數運算和一般運算無甚差異:
- 加、減法:實部加實部,虛部加虛部:
![{\displaystyle (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0a463db44a55680693e2790a6f351067e9bddbb)
- 乘法:
![{\displaystyle (a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bidi=ac+bdi^{2}+(ad+bc)i=(ac-bd)+(ad+bc)i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba54773e81569112d85d24db8419d6beb5765d70)
- 除法:可將分母「實數化」,方法是分子、分母乘以分母的軛作擴分:
![{\displaystyle {\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}}={\frac {(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^{2}+d^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0737a6e37ec6de303845d6a7385231256890b7d5)
例1:
例2:求
之值。
i
2
=
−
1
{\displaystyle i^{2}=-1}
,
36
+
111
i
2
=
36
−
111
=
−
75
{\displaystyle 36+111i^{2}=36-111=-75}
開方
要找一個複數的開
次冪,可以先求
的展開式,再對應欲開
次冪的複數的虛部和實數求解。
例:
,求
x
{\displaystyle x}
。
![{\displaystyle (a+bi)^{2}=a^{2}+2abi+(bi)^{2}=(a^{2}-b^{2})+(2ab)i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af7d71bf2ca78f2336e8846cef048d216c1c56f8)
![{\displaystyle i=0+1i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5925e005ab881700018bc2ad58d0573e53634d2)
![{\displaystyle a^{2}-b^{2}=0;2ab=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9d1efa16333db5dc35e016ce3e7ba0d5d2a3371)
解方程得
或
,因此,
或
冪、對數
參見#冪、對數的計算。
複數平面
本來卡氏座標要有兩個座標來表示位置,當有了複數後我們只需要一個複數就可以表示座標上的位置,用這樣方式表示座標平面稱為復座標或復平面。復平面由一實軸和虛軸組成。
有序對
單位圓
歐拉公式
等式
称为复数的欧拉公式(Euler's complex number formula)。
當x為π時,
这是一道被誉为美妙无比的式子,因等式将数学内五个极重要的数:
,
,
,1,0,连起来.
冪、對數的計算
棣美弗公式
幾何上的應用
向量
复数向量是表示在復平面上的向量
向量z=
在實軸上的正射影長為a,在虛軸上的正射影長為b
長度为
變換
位移
旋轉
例子
凡·奧貝爾定理的證明
高斯整數、艾森斯坦整數
質數
練習解答
練習一
- 1
![{\displaystyle i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20)
- -1
![{\displaystyle -i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91fddb9f89a520937db3a8821575068cdcc76f60)